Sur un principe général de l'Analyse. 9 



uniformément soit vers Wj, soit vers Wj- Puisque cette conséquence n'est pas compatible 

 avec notre hypothèse, on voit donc que, si cette hypothèse se trouve vérifiée, la fonction f(z) 

 ne saurait être bornée clans le domaine T. 



5. Le théorème que nous venons de démontrer peut être généralisé comme suit: 



Supposons que la fonction monogène f(s) soit régulière clans un domaine T admettant 

 comme contour une ligne simple fermée S, et qu'elle soit continue encore sur ce contour, excepté 

 peut-être un certain point a. 



Soient S, et S2 les portions de 8 limitées par le point a et un autre point quelconque P 

 de ce contour. 



Si la fonction /(s) tend vers une même limite o) lorsque s tend vers a suivant S^ ou. 

 suivant 8^, et si elle est bornée dans T, elle terulra unifwmément vers w lorsque z tend vers a 

 dans ce domaine, et sera donc continue encore pour 3 = a. 



Si, au contraire, la fonction f{z) tend sur 8\ et 82 vers des limites distinctes lorsque z 

 tend vers a, elle ne saurait être bornée dans le domaine T. 



Il suffira de démontrer la première partie de ce théorème, car la seconde partie s'en 

 déduit comme au numéro précédent. 



Du point a comme centre traçons une circonférence C,- de rayon r qui coupe le con- 

 tour -8. Cette circonférence divise le domaine T en un nombre fini ou infini de portions 

 distinctes, dont une seule, qui sera désignée par T,. et qui est couverte do hachures dans la 

 figure à côté, admet z — a comme point de frontière. Désignons 

 par Ai et A^^es premiers points, à partir du point a, où les 

 lignes 8, et 82 rencontrent la circonférence C,-. Les segments 

 a Al et a ^2 tle ces lignes divisent le cercle [ s — o | < r en deux 

 domaines distincts, dont l'un, que nous désignerons par T,., 

 renferme T,. comme partie. Nous admettrons que l'arc A^A^ 



de Cr qui fait partie de la frontière de T,. est inférieur à tj 2.Tr, 



ce qui ne restreint pas la généralité puisqu'on peut toujours réa- 



i 



liser cette hypothèse par la substitution ^ — a = {z — a)^. 



Prenons maintenant un point 3^ à l'intérieur de T, et effectuons la transformation 

 linéaire 



s ~ ^0 z — !:<) 



2o étant le conjugué du point s^ par rapport à la circonférence C,.. Cette transformation 

 laisse invariants les points Zo et s,, et transforme eu elle-même la circonférence C,.. Si l'on 

 fait tendre Zg vers a, Zç, tendra vers l'infini et la transformation (5) se réduira à la limite à une 



rotation de l'angle :r autour du point o. Il s'ensuit que, si le rapport — est inférieur à 



un certain nombre positif /i, l'arc AjAi de la circonférence C,., qui est par hypothèse infé- 

 rieur à .^2?rr, sera transformé par (.5) en un arc A\A'2 de la même circonférence n'ayant 

 aucun point commun avec /1,^2- 

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