10 Ernst Lindelöp. 



Le domaine T,- est limité par certaines portions de l'arc AiAi et certains segments 

 (s) du contour S qui sont compris dans le cercle |s — a|<r. Le transformé T',. de T,. par 

 la substitution (5) sera donc limité par certaines portions de l'arc A'i A\ et par les transformés 

 (s') des segments (s) (les lignes (s') sont marquées en pointillé dans la figure ci-dessus). 

 Puisque les arcs A^A^ et A\A'.^ n'ont pas de point commun, la portion commune -Qj, des 

 domaines T,- et T',. qui renferme le point z^ est située tout entière à l'intérieur du cercle 

 I s — a I < r, et son contour se compose donc exclusivement de certaines portions des seg- 

 ments (s) et (s'). 



Après ces préliminaires, considérons l'expression 



i^(2) = (/(s)-'")(/.(s)-«), 



où la fonction /i est définie par la relation fi{C) = f{z)- Par hypothèse, le module 1/(0) — w| 

 reste au-dessous d'une limite finie M dans le domaine T, et par suite aussi dans T,-. On aura 

 donc aussi |/i(s) — wl<M dans T,'.. D'autre part, si le nombre positif * est donné, on peut 

 déterminer R, de telle sorte que l'inégalité |/(s) — cö|<* soit vérifiée sur les segments (s), 

 excepté le seul point a, dès que r est inférieur à R.. Pour ces valeurs de r on aura donc 

 aussi 1/1(0) — ö)|<« sur les segments (s'), excepté le point a' qui se déduit de a par la 

 transformation (5). 



En somme on voit donc que la fonction F{s:) est régulière et bornée dans Si^, et 

 qu'elle est continue et vérifie l'inégalité \F(z)\<iMs sur la frontière de ce domaine, excepté 

 peut-être les points a et a'. D'après le n" 2 on en conclut que l'inégalité en question subsiste 

 aussi à l'intérieur de îi„ et, en particulier, au point s^, où elle se réduit à 



|/(ä„)-a)|< YMs. 



Ce résultat est ainsi établi pour tout point s^ du domaine T qui est compris dans le cercle 

 \z — a\<iJ'Rs, d'où suit notre théorème. 



6. Voici maintenant une nouvelle généralisation du théorème du n° 4, dont nous 

 aurons également à tirer parti ')• 



Soit f{s) une fonction monogene de la variable = a-f-re"'" qui est régulière et bornée à 

 Vintérieur du domaine T défini par les inégalités (4). 



Admettons que f{z) tende vers une limite déterminée m lorsque z tend vers a suivant une 

 certaine ligne simple L faisant partie du domaine T. Cette ligne pourra avoir aussi des points 

 communs avec les ra^yons qui limitent le domaine T, à condition que la fonction f{z) reste conti- 

 nue en ces points. 



Dans ces conditions, la fonction f{z) tendra uniformément vers la limite m dans V angle 



(6) (Pi+s£fp£V2-^, 



quelque petit qu'on se donne le nombre positif s. 



') Dans le cas particulier où L est un rayon issu du point a et compris dans l'angle q>i<C,(p <^(pi, 

 CO théorème avait déjà été établi par M. Montbl dans son Mémoire: Sur les familles de fonctions anntijiiques 

 qui admettent des valeurs exceptionnelles dans un domaine (Annales de l'Ecole Normale Supérieure, t. 29, 19r2). 



Tom. XLVl. 



