Sur un principe général de V Analyse. 11 



Si, en particulier, la ligne L se confond avec Tun des rayons qui limitenl le domaine T, 

 soit le rayon (f = (fi, f(s) tendra uniformément vers w dans Vamjle <fi<,tf£,tp^ — t. 



Pour simplifier autant que possible la démoiistratiou de ce théorème, nous supposerons 

 d'abord l'angle v = (f2^ <Pi égal à ^. 



Commençons par démontrer que /(0) tend vers w lorsque 2 tend vers a suivant la 

 bissectrice de cet angle. 



A tout nombre positif f correspond, en vertu de nos hypothèses, une longueur B,{<R) 

 telle que l'inégalité 



(7) |/(s)_«|<ï 



soit vérifiée sur le segment L. de la ligne L compris entre le point a et le premier point, à 

 partir de a, où cette ligne rencontre la circonférence \s — a\ = Re- Prenons sur la bissectrice 

 de l'angle v un point quelconque s^ compris dans le cercle |0 — a | < <, R^. 



Si le point s^ est situé sur L,, l'inégalité (7) est vérifiée en ce point; si non, nous 

 construirons de s^ comme centre un hexag'oue régulier P dont 

 deux côtés, «,|ïi et «2^21 tout respectivement ptirtie des 

 rayons (f' = i>\ et (f = (p2- H arrivera, en général, que cet 

 hexagone P, qui fait partie du domaine T, est divisé par L, 

 en deux ou plusiem's domaines distincts; nous désignerons 

 alors par i3 celui de ces domaines qui renferme le point Sq- 

 Mais il peut aussi arriver que la ligne Ls n'a en commun 

 avec l'hexagone que certaines portions de son périmètre, 

 parmi lesquelles figurera alors nécessairement l'un des côtés 

 a^ßi et «2i^2i et dans ce cas nous choisirons comme do- 

 maine ß l'hexagone lui-même. 



Faisons tourner le domaine fi autour du point z,, cinq fois de suite, chaque fois de 

 l'angle -^, et désignons par îi^, . . ., .0- les domaines ainsi obtenus et par .Q„ la portion com- 

 mune des domaines S>, f>^, . . ., Si. qui renferme le point Zg. La frontière du domaine îig se 

 compose de certains segments de la hgne L, et de ses transformées par les rotations con- 

 sidérées. 



En vertu de nos hypothèses, la fonction f(z) — ta est régulière et sou module inférieur 

 à une constante finie M dans le domaine îi. De plus cette fonction reste continue et vérifie 

 l'inégalité (7) sur les portions de la frontière de îi qui font partie de la ligne L.. D'après le 

 n" 3 nous pouvons en conclure qu'on a pour 2 = 20 Finégahté 



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(8) \f{z)-oo\<M's'. 



Nous avons ainsi démontré que, en tout point de la bissectrice de l'angle v compris 

 dans le cercle z — a\<i^Re-, l'une ou l'autre des inégalités (7) et (8) a lieu. Donc la fonc- 

 tion f(z) tend bien vers la limite ot lorsque z tend vers a suivant cette bissectrice. 



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