12 ErnstLindelöf. 



A l'aide d'une substitution de la forme C— « = (s — «)'' on peut se débarrasser de l'hy- 

 pothèse v — ^ admise ci-dessus. On peut donc appliquer aussi le résultat obtenu aux 

 deux moitiés du domaine T comprises respectivement dans les angles (pi^<p<:(f'i + ^ et 

 ffi + ^<(f<,(p2, et l'on trouve ainsi que la fonction fis) tend également vers ta sur leurs 



bissectrices, c'est-à-dire sur les rayons (f' = (fi+j et y. = ^2— t- D'après le théorème du 

 n" 4, f{s) tendra donc uniformément vers w dans l'angle 



En appliquant notre résultat aux portions du domaine T extérieures à l'angle précé- 

 dent, on conclut de même que f(z) tend uniformément vers w dans l'angle 



<Pi + 8 = 95^^2-8 • 



et, en continuant de la sorte, on arrive évidemment à cette conclusion que f{s) tend unifor- 

 mément vers la limite w dans l'angle (6), (juelque petit qu'on se donne le nombre positif e. 

 Notre théorème est donc démontré. 



Par des substitutions convenables on peut présenter ce théorème sous différentes for- 

 mes et le préciser dans certaines directions. Nous nous contenterons d'indiquer ici sans 

 démonstration le résultat suivant: 



Les liypoihèses et les notations restant les mêmes que dans le théorème ci-dessus, admet- 

 tons que la ligne L, à partir d'un certain de ses points, reste comprise dans le domaine 



(fi£<p<<Pi + kr'' ((tt>0,fc>0), 



de sorte quelle soit tangente au rayon y = (/- , au point a . 



Dans ces conditions, la fonction f{z) tendra uniformément vers la limite w lorsque s tend 

 vers a dans le domaine 



le nombre positif t étant donné aussi petit quon voudra. 



7. Jusqu'ici nous nous sommes appuyé exclusivement sur le principe élémentaire rap- 

 pelé au n" 1. En nous servant de la fonction modulaire, dont nous supposons connues les 

 propriétés essentielles, nous allons maintenant établir un théorème qui servira à compléter 

 celui du n" 5, et qui joue un rôle important dans différentes branches de l'Analyse et, en par- 

 ticulier, dans la théorie des fonctions méromorphes et de leurs inverses '). 



') Voir la Thèse de M. Fblix Iversen: Recherches sur les fondions inverses des fonctions mc'minorphes 

 (Helsingfors 1914), ainsi que les travaux antérieurs de M. Pierre Boutroux sur le même sujet. Toutefois 

 M. Boutroux n'a pas donné de démonstration précise, ni d'énoncé précis du théorème en que.stion. 



Tom. XLVI. 



