iSwr un principe général de V Analyse. 13 



Supjwsons que la fonciion monogène f{z) soll régulière dans un domaine T, limiié par 

 un contour simple fermé S, et conlinue encore sur ce contour, excepte peut-être un certain point a. 



Désignons par Si el S^ les portions de S limitées par le point a et un autre point quel- 

 conque F de ce contour. 



Si la fonction f{z) tend vers une même limite w, finie ou non, lorsque z tend vers a 

 suivant Si ou suivant S2, ou bien elle tendra uniformément vers celle limite dans le domaine T, 

 ou bien elle prendra à l'inlérieur de ce domaine, dans un voisinage arbitrairement restreint du 

 point a, toute valeur finie donnée, sauf peut-être une seule de ces valeurs. 



Si la fonction f{z) tend sur S, cl sur S 2 vers des limites déterminées différentes entre 

 elles lorsque z tend vers a, elle prendra toujours dans le domaine T, atissi près du point a qu'on 

 voudra, toute valeur finie donnée, excepté peut-être une seule valeur. 



Soit (l> une surface du Riemann à une infinité de feuillets, étendue sur le plan de la 

 variable complexe x, qui admet comme seuls points-limites les points x- = 0, l,co, chacun d'eux 

 étant un point de ramification d'ordre infini pour chaque feuillet de la surface. On sait qu'il 

 existe une fonction 



(9) u = X{x) 



qui donne la représentation conforme de l'intérieur de cette surface </' sur le cercle jit|<l. 

 Désignons comme au n" 5 par T,. la portion du domaine T qui est intérieure au cercle 

 |3 — a|<r et dont le contour comprend le point a. Si l'on admet qu'il existe deux valeurs 

 finies distinctes, « et [i. que la fonction donnée f{z) ne prenne pas à l'intérieur de T,., la 

 fonction 



(10) F(0) = ^^ 



sera régulière et différente de et de 1 dans ce même domaine, et continue encore sur son 

 contour, excepté le point a. Par suite toute détermination de la fonction') 



(11) HFiz)) 



sera uniforme et régulière dans le domaine T,-, et continue sur son contour, sauf peut-être au 

 point a, et à l'intérieui' de T,- son module sera partout inférieur à l'unité. 



Cela posé, admettons d'abord que f{z) tende sur les lignes Si et S^ vers des limites 

 différentes, »i et »2, lorsque z tend vers a. La fonction F{z) tendra également vers des 

 limites différentes, et, d'après les propriétés connues de la fonction (9), il en sera donc de même 

 de la fonction (11). Mais cette conclusion est en contradiction avec la proposition établie au 

 u" 5, puisque la fonction (11) est bornée dans le domaine T,., et la seconde partie de notre 

 théorème est donc exacte. 



Supposons maintenant que la fonction f{z) tende sur Si et S2 vers la même hmite o). 



') On sait que cette fonction comporte une infinité de déterminations distinctes, qui proviennent de 

 l'une d'elles par des substitutions linéaires. 



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