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mais qu'elle ne tend pas uniformémeut vers cette limite dans le domaine T. La fonction F{z) 

 tendra sur S, et sur S 2 vers la même limite 



, Cû — a 

 p — a 



En admettant d'abord que m :^ et, ß, 00, on aura o)' 7^ 0, l,oo. Marquons dans un 

 feuillet donné de la surface (U le point x = o)', et soit u = u' le point du cercle ju|<l qui 

 lui correspond en vertu de (9), et A (s) la détermination de la fonction (11) qui tend vers u' 

 lorsque s tend vers a suivant Si. Cette fonction Ji.{s) tendra également sur «Sa vers une 

 limite déterminée, puisqu'il en est ainsi de F (s), et, d'après la dernière partie de la propo- 

 sition établie au n" 5, cette limite doit être égale à u', puisque Â(s) est bornée dans T,.. La 

 première partie de la proposition citée nous apprend dès lors que Ä (2) tend uniformément vers 

 u' lorsque 2 tend vers a dans le domaine T. Mais, en vertu de la correspondance (9), \x— m' \ 

 tend vers zéro en même temps que \u — u' \, puisque le point m' est situé à V intérieur du cercle 

 iw|< 1, et on voit donc que, si /(s) ne prenait dtins T,- ni la valeur « ni la valeur (ï. Fis) 

 tendrait dans ce domaine uniformément vers la limite w' lorsque s tend vers a. Mais alors 

 /(g) tendrait uniformément vers la limite m. contrairement à notre hypothèse. 



Supposons en second lieu que l'une des valeurs a et ß soit égale à w, par exemple 

 qu'on ait ß = o). Dans ce cas »' = 1, et le raisonnement qui précède n'est plus applicable. 

 Or considérons l'expression VF{2). Puisque F(s)=£0, 1 dans T,., chacune des deux branches 

 de cette expression est régulière dans ce domaine et n'y prend aucune des trois valeurs 0, 1,-1. 

 Choisissons celle de ces branches qui tend vers - 1 lorsque s tend vers a sur S^. Sur l'autre 

 chemin S 2 cette branche tendra soit vers 1, soit vers —1, puisque F (s) tend vers 1. Mais 

 la première de ces hypothèses est en contradiction avec la dernière partie de notre théorème, 

 que nous avons déjà démontrée, et la seconde hypothèse nous conduirait, par un raisonnement 

 identique à celui qui précède, à cette conclusion que 1/^(0) devrait tendre uniformément vers 

 — 1 et, par suite, F{2) uniformément vers 1 et, enfin, /(s) uniformément vers o), lorsque s 

 tend vers a dans le domaine donné. Nous nous heurtons donc encore à une contradiction. 



Enfin l'hypothèse w = 00 se ramène à la précédente, si l'on remplace la fonction (10) 

 par la suivante: 



En effet, si /(s)r£«,/i dans le cfomainc T,., cette fonction y serait régulière et différente 

 de et de 1, et tendrait vers 1 lorsque z tend vers a sur ti^ ou sur S^- 

 Notre théorème est ainsi démontré dans toutes ses parties. 



Tom. XLVl. 



