Sur un principe général de l'Analyse. 15 



II. Sur la correspondance entre les frontières de deux domaines 

 qui sont représentés l'un sur l'autre d'une manière conforme. 



8. Soient T un domaine fini simplement connexe rinelconqne du plan des s, un 

 point pris à l'intérieur de ce domaine, et 



(1) C = f{s) 



une fonction qui donne la représentation conforme de l'intérieur de T sur le cercle | f | < 1 de 

 telle manière qu'au point corresponde le centre du cercle. L'inverse de cette fonction sera 

 désignée par 

 (1)' 2 = <r(0. 



Désignons encore par 7v la plus grande corde du domaine T et par q la plus courte distance 

 du point à sa frontière. 



On sait que, lorsque le point z se déplace dans T de telle manière que sa distance à 

 la frontière de ce domaine tende vers zéro, le module de la fonction /(0) tend vere l'unité, 

 de sorte que le point t = f{z) tendra vers la circonférence |C| = l. Mais on peut établir à ce 

 sujet un résultat plus précis, dont on pourra tirer parti aussi dans d'autres recherches concer- 

 nant la représentation conforme. 



En désignant par a l'affixc d'un point situé sur la frontière du domaine T, imaginons 

 qu'on construise la surface de Riemann à une infinité de feuillets qui se rattache à la fonction 

 log (a — a), et considérons la portion T de cette surface qui est intérieure au cercle j 2 — a | <C 7v . 

 Si l'on regarde le point comme appartenant à un certain feuillet de la surface T, le domaine 

 donné T fera tout entier partie de cette surface. 



Faisons la représentation conforme de la surface T sur le cercle 1 C | f^ 1 de telle sorte 

 que le point corresponde au centre du cercle et le point z = a au point C = 1 ■ Cette repré- 

 sentation est donnée par la fonction 



^^F{z). 



io.(ye--).log| 



Q, désignant la longueur et r l'argument du vecteur aO. A la portion de la surface T com- 

 prise dans le cercle |z — a|<r(<5) correspond l'intérieur d'un cercle ayant comme diamètre 

 le segment 1 — d'<^£^l de l'axe réel, où J' désigne l'expression 



21og| 



•og — + log — 



V r 



laquelle est inférieure à l'unité et tend vers zéro avec r. On aura donc |F(ü)I>1 — d' dès 



que 1 s — a I < r. 

 N:o 4. 



