16 Ernst Lindelöf. 



Considérons maintenant le quotient 



f{z)' 



A l'intérieur du domaine T celui-ci définit évidemment une fonction monogène uniforme et 

 régulière. Soit ï un point quelconque situé sur la frontière de T. Quelque petit que soit t, 

 on pourra choisir q de telle sorte qu'on ait '/(s)|>l-f pour tout point 2 de T compris 

 dans le cercle |^ — ?|<ç, et, puisque d'autre part \F{z)\<il dans T, on voit que le module 

 du quotient considéré est, pour les mêmes points 0, inférieur à y^^. Le principe fondamental 



rappelé au n" 1 nous apprend dès lors que ~~ < 1 à l'intérieur du domaine T, et il en 



résulte qu'on a \f(z)\ >\F{z) pour tout point de ce domaine distinct du point 0. 



D'après le résultat établi plus haut, on aura donc j/(2)|>l — <î' dans la portion du 

 domaine T comprise dans le cercle | s — a | < r. Si le point a se déplace sur la frontière de T, 

 la quantité Q et par suite aussi ô' varie, mais comme on a Q^q, ô' ne dépassera jamais 

 la limite 



21og^ 



log ^ + log ^ 

 2 r 



Nous pouvons donc énoncer ce résultat: 



A tout point s du domaine T situé à une distance inférieure à f (< 5) de sa frontière 

 correspond, en vertu de (1), vn point f ayant à la circonférence |f| = l une distance inférieure à 

 V expression ô{r), qui tend vers zéro en même lem.ps que r, et qui, en dehors de r, ne renferme 

 que les quantités K et q. 



9. Nous allons maintenant établir un théorème aussi précis relatif à la variation de 

 l'argument de la fonction f{z). 



Soient a un point quelconque situé sur la frontière du domaine T, l une ligne simple de 

 ce domaine comprise dans le cercle js — a|<r(<g), et a V oscillation de V argument de la fonc- 

 tion f (z) sur cette ligne l, on aura, dès que r est inférieur à une certaine limite r^, V inégalité 



.Aiogf 



(3) (T < 4 arc tang // 



le 

 r 



qui fait voir que a tend vers zéro en même temps que r. 



Soient (/<, et 1//.2 la plus grande et la plus petite valeur de l'argument de f{z) sur la 

 ligne l, Gt l, un segment de l compris entre deux points consécutifs où ces valeurs sont at- 

 teintes. A II correspondra, dans le cercle | f | < 1, une ligne simple A, dont les extrémités yl, et 

 B, sont respectivement situées sur les rayons ip = ai^ et ip = xp^, tandis que ses autres points 

 sont compris dans l'angle 'i'2 < »/'< '/',. Soient ^ et B les points où lesdits rayons rencontrent 

 la circonférence | f | = 1 . 



Tom. XL VI. 



