Sur un principe général de V Analyse. 



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D'après le n" S, la ligue l^ est comprise entre les circonférences |f| = l et 

 I f 1 = 1 — d(c), où ô{r) désigne l'expression (2). Une tangente à la dernière de ces circonfé- 

 rences intercepte de la première un arc de longueur 



(4) 



lui lll'M 



2 arc cos (1 — ô(r)). 



(//j. A cet effet 



Il s'agit de trouver une limite supérieure de la différence a= ifi 

 nous admettrons provisoirement les deux hypothèses suivantes: 

 1" La différence a est supérieure à l'expression (4). 

 2° On a d'autre part a£%- ' "''"'' ' ' 



Soit P le milieu de la corde AB et Co l'affixe de ce point. En vertu des hypothèses 

 1° et 2», P est situé à l'intérieur du domaine îî limité par la hgne A, et les segments reéti- 

 lignes OAi et OB,. Faisons tourner ce domaine de l'angle sr autour du point P, et idési- 

 gnons par Si' le nouveau domaine ainsi obtenu, lequel sera 

 limité par les segments rectilignes 0'A\, 0'B\ et la ligne 

 /.',, symétriques respectivement à OA,, OB, et ^, par rap- 

 port au point P. Puisque, en vertu de l'hypothèse 2", les 

 segments 0'A\ et 0' B\ sont extérieurs au cercle |?|<1 

 et par suite au domaine Xi, les segments OAi et OB^ seront 

 extérieurs au domaine Si ', et la portion commune S*^ de ces 

 deux domaines qui renferme le point P (couverte de hachu- 

 res dans la figure à côté) sera donc limitée uniquement par 

 des segments des lignes A, et /.\. 



Après ces préliminaires, nous appliquerons les consi- 

 dérations du n" 3 à la fonction 



(/)(n = </'(0-a- 



Cette fonction est régulière dans le domaine SI, contour compris, et vérifie l'inégalité 

 |(/>(C)|<-'^ dans tout ce domaine et l'inégalité plus étroite |</»(t)j<r sur la portion Aj de 

 son contour. Par la rotation considérée ci-dessus, qui se traduit analytiquement par la sub- 

 stitution C — ?o= — (^— ?o) '"1 ^' = 2Co—i. 0" déduit de «/'(0 une nouvelle fonction, 



(/\(0 = «/'(2^,-0, 



qui est régulière dans le domaine Sl\ contour compris, et vérifie l'inégalité \0i(C)\<CK en 

 tout point de ce domaine et l'inégalité j fl>,{C)\<Cr sur la hgne /', . 



Par suite la fonction '/'(t) '/'i(0 est régulière et bornée dans le domaine S2f, et sur 

 son contour, et vérifie en tout point de ce contour l'inégalité \ <I>{l) <I>i{C)\<iKr. D'après 

 le principe fondamental du n" 1, cette même inégalité subsiste donc aussi à l'intérieur du 

 domaine Sin et, en particulier, au point Co, où elle se réduit à 



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