18 Er nst Lindelöf. 



D'après cette inégalité, la distance du point So = V'(t^o), Qui correspond au point P, 

 à la frontière du domaine T est inférieure à j/Kr. Cette dernière quantité est elle-même 

 inférieure à q si r<'j^. Le théorème du n° 8 nous apprend donc quo, pour ces valeurs der, 

 la distance du point P à la circonférence 1 1 1 = 1 est certainement inférieure à la limite 



_ 2 log K 



log ^+ i log ^ 

 52 r 



Mais cette distance est, d'autre part, égale à 



1 — c.os ,1 =--- 2 sin -^ > 



et il vient donc 



2]0fr^ 



2 sin '4 < 



^^logA'aiog^ 



d'où il suit enfin 



ß < 4 nrc sin 



7/ log^ 7/21og^' 



f^ log:(L + i-log^A f" log^ 



q 2 r r 



C'est l'inégalité cherchée (3), qui se trouve ainsi établie pour les valeurs de r inférieures à 

 jT, en supposant vérifiées les hypothèses 1" et 2" ci-dessus. 



Mais la première de ces hypothèses s'élimine d'elle-même, puisque, l'expression (5) 

 étant supérieure à (2), la limite que nous venons de trouver pour a est évidemment supérieure 

 à l'expression (4). Quant à la seconde hypothèse, on vérifie aisément que la limite (3) est 

 inférieure à ^ si r est plus petit que la quantité 



'.=«(!•) 



5 + 4 /à 



laquelle est elle-même inférieure à la limite jr admise ci-dessus. 



Il en résulte que, si r<foi on ne saurait avoir ff>^. En effet, au cas contraire 

 on pourrait choisir un segment / de la ligne l sur lequel l'oscillation <> de l'argument de la 

 fonction /(s) serait inférieure à " mais en même temps supérieure à la limite (3), et on se 

 trouverait ainsi en contradiction avec le résultat obtenu ci-dessus. Donc, si r<Cro, on aura 

 nécessairement ff<^ et, par suite, l'inégalité (3), C. Q. F. D. 



Remarquons enfin que le théorème que nous venons de démontrer reste encore vrai si 

 l'on y remplace la (juantité q par la longueur Q du vecteur aO et la quantité /1 pnr la plus 

 grande corde du domaine T issue du point a. 



Tom. XLVI. 



