Sm»" un princi-pe général de V Analyse. 19 



10. Un point de la frontière du domaine T est dit accessible, s'il existe une ligne 

 simple dont une extrémité se confond avec ce point tandis que ses autres points sont tous 

 situés à rintérieur du domaine T. S'il n'existe pas de telle ligne, le point en (juestion est 

 dit inaccessible. Il est évident que l'ensemble des points accessibles est dense ])artout sur la 

 frontière, c'est-à-dire que tout cercle ayant comme centre un point de la frontière renferme 

 une infinité de points accessibles. 



Ces définitions posées, les considérations qui précèdent nous permettront d'établir en 

 quelques mots deux théorèmes importants. 



Soient z = a un point accessible de la frontière du domaine T et L une ligne simple com- 

 prise dans ce domaine et ayant a comme extrémité, si le point z tend vers a suivant L, le point 

 correspondant ^=f{z) tendra vers iin point déterminé ^=n de la circonférence |C| = 1- 



Puisque nous savons que le module de la fonction f{z) teud vers l'unité, nous n'avons 

 qu'à démontrer que son argument tend également vers une limite finie et déterminée. 



Soit L,. la portion de la ligne L comprise entre le point a et le pi'emier point, à 

 partir de a, où cette ligne rencontre la circonférence \z — a\ = r. D'après le théorème 

 du numéro précédent, l'oscillation de l'argument de f{z) sur L,. sera inférieure à tel 

 nombre t qu'on voudra si r est inférieur à une certaine quantité /%. Or ceci constitue 

 précisément la condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une limite finie et dé- 

 terminée. 



Soient a et a' deux points accessibles distincts de la frontière du domaine T, L et L' 

 deux lignes simples comprises dans ce domai^ie et ayant respeclivemcnl a et a' comme extrémités, et 

 et «' les limites vers lesquelles tend la fonction i{z) sur ces lignes; on aura nécessairement a:^«'. 



Au cas contraire, les lignes yl et -/' du cercle | ^ I < 1 qui correspondent à L et à L' 

 aboutiraient au même point i = « de la circonférence [t =1- Soient ^/p et ^/'^ les segments 

 de ces lignes compris respectivement entre le point a et les premiers points, ß et ß', où elles 

 rencontrent la circonférence [f— aj = ç. Si ç est suffisamment petit, yi^ et ^'^ n'auront 

 aucun point commun en dehors du point «, et limiteront ptir conséquent, avec l'arc ßß' de 

 ladite circonférence, une portion connexe t du cercle |C|<1. La fonction ^(0 est régulière 

 et bornée dans ce domaine t, et malgré cela elle tendrait sur ./;, et ./'j vers dos limites 

 différentes, a et a', lorsque t tend vers rr. Or cette conséquence est en contradiction avec le 

 théorème du n" 5. 



Considérons maintenant une coupure quelconque s du domaine T, c'est-à-dire une ligne 

 simple dont les extrémités, a et b, sont situées sur la frontière de T, tandis que ses autres 

 points sont tous intérieurs à ce domaine. Les points a et & peuvent d'ailleurs être distincts 

 ou non. 



A cette coupure s correspond dans le cercle | C | r< 1 une ligne simple a qui, d'après le 

 premier des théorèmes établis ci-dessus, trnd dos deux côtés vers des points déterminés, « et ß, 

 de la circonférence C ' = 1 • La ligne n constitue donc une coupure du cercle | C ! < 3 et le 

 divise, par suite, en deux portions distinctes {voir la deuxième note page 5). En s'ap- 



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