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puyaiit sur la correspondance continue et bi-univoque entre les points intérieurs de ce cercle 

 et ceux du domaine T, on eu conclut que ce dernier domaine est divisé en deux portions 

 distinctes par la coupure s. '■'-'i'" li "!-> <il' "i."''^ ' 



Si les extrémités a et b de la coupure s sont distinctes, il ea est de' même des extré- 

 mités « et ß de la coupure a, d'après le second théorème ci-dessus. Dans le cas où les points 

 ft et t sont confondus, les points a et ß seront encore distincts si le domaine limité extérieure- 

 üient par la coupure s, qui est maintenant une ligne fermée, renferme des points de la fron- 

 tière de T. En effet, dans ces conditions le contour de chacune des deux portions de T que 

 sépare la coupure s comprend une infinité de points accessibles de la frontière de T, et le 

 contour de chacune des deux portions correspondantes du cercle | f 1 ^ 1 doit donc comprendre 

 une infinité de points de la circonférence |f| = l, ce qui n'aurait pas lieu si les extrémités 

 « et iï de la coupure a étaient confondues. 



iioit-)iiol i',l rili iilnboiit :i| 'iiifi ■f.Ud'firf. xiimi 'iiipi^iiiM 



11. 'Soit a un point accessible de la frontière de T, et soit L une ligne simple com- 

 prise dans ce domaine et aboutissant au point a. Nous admettrons que l'autre extrémité de 

 L est le point 0, ce qui évidemment ne restreint pas la généralité. ' 



De a comme centre traçons un cercle de rayon r inférieur à q, et fixons un segment 

 a a,- de la ligne L dont les points sont tous situés à l'intérieur de ce cercle. On pourra par 

 exemple choisir pour a,- le premier point, à partir du point a, où la ligne L rencontre la 

 circonférence \s — a\ = ^- 



' \ La circonférence \z — a\=r est divisée par la frontière du domaine T en un nombre 

 fini ou infini d'arcs distincts, dont ceux qui sont intérieurs à T constituent autant de coupures 

 de ce domaine. Puisque les points a^ et sont situés respectivement à l'intérieur et à l'exté- 

 rieur de cette circonférence, le segment de la ligne L qui Joint ces points doit traverser l'une 

 au moins des coupures en question. D'autre part, comme les distances des points de ce seg- 

 ment à la frontière de T ont une limite inférieure non-nulle, on conçoit que le nombre des' 

 coupures distinctes (s) que traverse la hgne L est nécessairement fini. 



D'après le n" 10, chacune des coupures (s) divise le domaine T en deux portions 

 distinctes. On démontre facilement') qu'il existe parmi ces coupures au moins une qui sépare 

 les points a,- et 0, de sorte que les portions correspondantes du domaine T renferment chacune 



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un de ces points. 



Nous désignerons par s,, la première parmi les coupures (s) qui séparent les points 

 a,, et qu'on rencontre en suivant la ligne L depuis le point a, par h,, et c,. ses extrémités. 

 La coupure s,, divise T en deux domaines partiels, dont nous désignerons par /.,. celui qui 

 renferme le point a,-. 



A la ligne L correspond, dans le cercle | C| < 1 , une hgne simple ^/ ciui joint le centre 

 du cercle avec un point déterminé « de la circonférence |f| = l. As,, correspond une cou- 

 pure a,, du cercle | f | < 1 dont les extrémités ß,- et y,- sont distinctes d'entre, elles et du point «, 



^llluill 1 .ill l:miltl| 



') Cf. Carathéodorv: Ueber die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete, page 338. 



Tom. XLVI. 



