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t',- est égale à vi{r), tout point à l'intérieur de l',. sera à une distance du point a supérieure à 

 in{r), et on voit donc que tout point du domaine T qui est intérieur au cercle j s - a | < i/t (r) 

 appartient au domaine l,-. 



A chacun do ces points de T correspond ainsi un point t = fiz) qui est situé dans le 

 domaine r,.. Or, d'après le n° 11, t,. est intérieur au cercle |f— ct|<f si r est inférieur à 

 une certaine limite r^, le nombre positif « étant donné aussi petit que l'on veut. On a donc 

 1/(3) — «l<e pour tout point s du domaine T qui est compris dans le cercle js — aj<m(r£). 

 En d'autres termes, la fonction f{s) est continue au point s = a et y prend la valeur «. 



Des propriétés des lignes simples {voir la deuxième note page 5) il résulte, d'autre 

 part, que la distance maxima m{r){>r) d'un point du segment S,- au point a tend vers 

 zéro avec r. Quelque petit qu'on se donne *, le domaine /,,. sera donc compris dans le cercle 

 jz — a|<e dès que r est inférieur à une certaine limite r., d'où il suit qu'on aura 

 |çi(fc) — a|<t dans le domaine t-^ si r<,rs. Donc la fonction v(0 <'St continue au point 

 t = « et y prend la valeur a . 



Par hypothèse, a est un point accessible quelconque du contour du domaine T. Or 

 on sait que, si ce contour est une ligne simple, comme nous le supposons ici, tous ses points 

 sont accessibles. De ce qui précède il résulte donc que la fonction fis) est continue dans le 

 domaine T et sur son contour S, et que la relation f = /(s) fait correspondre h tout point 

 donné a de S un point déterminé « de la circonférence |t| = l, et à deux points différents 

 de S deux points différents de cette circonférence. De plus, la fonction ()p(0 ost continue en 

 tout point de la circonférence |C[ = 1 qui correspond à un point de Ä. 



Reste à faire voir qu'à tout point de la circonférence |Ci=^l il correspond un point 

 du contour S. 



Puisque ce contour est une ligne simple fermée, on peut établir une correspondance 

 continue et bi-univoque entre ses points et ceux d'une circonféi'once C. Soit u l'angle polaire 

 d'un point P de cette circonférence par rapport à son contre. L'affixe ; du point de S qui 

 correspond à P est une fonction continue de u, et, d'après ce que nous venons de dire, il en 

 sera donc de même de la valeur que prend en ce point la fonction /(s). Par suite, l'angle 

 polaire ip du point correspondant ^ = f{z) de la circonférence iC| = l est aussi une fonction 

 continue de u 



W = ip{u). 



Si u varie d'un multiple de 2:t, il en est de même de il'(u). D'autre part, à deux valeurs 

 de u qui sont incongrues module 2. t correspondent des valeurs de (/'(m) jouissant de la même 

 propriété. 



Il s'ensuit avec nécessité que, lorsque l'angle u croît d'une manière continue depuis 

 à 2w, la fonction '/'(^0 varie d'une manière continue et loujours dans le même sens, et que 

 sa variation totale est, en valeur absolue, précisément égale à 2^. Donc à tout point de la 

 circonférence |?| = 1 correspond bien un point de la circonférence C et, i)ar suite, un point du 

 contour S, ce que nous voulions étabhr. 



D'après ce qui précède, la fonction <piC) est donc continue eu tout point de la circon- 

 férence I fc I = 1 , et nous avons ainsi établi ce théorème : 



Tom. XLVl. 



