Sur un principe général de l'Analyse. 23 



Dans le cas où le domaine donné T est limilé par une ligne simple fermée S, la relation 

 ^ = fi^)i Çwi donne la reprvsenlalion conforme de Vintérieur de ce domaine sur Tinlérieur du 

 cercle |f|<;i, établit une correspondance continue et bi-univoque entre les points de ces deux do- 

 maines, contours co7n pris. 



13. Retournons au cas général, en reprenant les hypothèses et les notations du n° 11. 



Nous avons vu que, lorsque r décroît vers zéro, les domaines t,. et r,. se rétrécissent 

 constamment, et que le domaine t,. se réduit à la limite au seul point «. Il en résulte que 

 tout point pris à l'intérieur du domaine T sera extérieur à /,. dès que r est suffisamment 

 petit. Sur la frontière de T il peut, au contraire, y avoir des points, autres que a, qui ap- 

 partiennent à la frontière du domaine t,. quelque petit que soit r. Nous désignerons par Ea 

 l'ensemble de tous ces points, y compris le" point a. D'après un théorème connu, Ea est un 

 ensemble continu, à moins qu'il ne se réduise au seul point a. 



Soit P un point quelconque de l'ensemble Ea et s son affixe. Puisque P appartient 

 à la frontière de tout domaine /,., chacun de ces domaines renferme des points c intérieurs au 

 cercle |s — 2 <*, quelque petit que soit t. Donc tout domaine r,. renferme des points f pour 

 lesquels |y(C) — s'<«, et, puisque r,. se réduit pour r = au seul point «, il en résulte que 

 z est une valeur-limite de la fonction y(0 au point «. 



Soit inversement z une valeur-limite quelconque de y (ç) au point «. Tout domaine 

 T,. renfermera des points î: tels que q (Ç) z\<Cs, quelque petit qu'on se donne «. Donc 

 tout domaine t,- renfermera des points s qui sont intérieurs au cercle | 3 — s , < « , ce qui montre 

 que le point z fait partie de la frontière du domaine 1, quel que soit r, et qu'il appartient 

 par suite à l'ensemble Ea. 



Le domaine Ea se compose ainsi des points ayant pour affixes les différentes valeurs- 

 limites de la fonction (fiO au point fc = «, et constitue par suite, d'après M. Painlevé'). le 

 domaine d'indéterminatioyi de cette fonction au point considéré (en se bornant au cercle | C| < 1 )• 



Si Ea se réduit au seul point a, la fonction ^(0 est continue au point u = a et tond, 

 par suite, vers la limite a sur tout chemin aboutissant ta ce point. 



Insistons un peu sur le cas où, l'ensemble Ea étant infini, la fonction </(C) ost indé- 

 terminée au point C = « . 



D'après nos hypothèses, il existe dans le cercle | C 1 < 1 une ligne yi ayant le point « 

 comme extrémité sur laquelle (f{Ç) tend vers la hmite a. Le théorème du n° 5 nous apprend 

 dès lors que, quel que soit le chemin suivant lequel t tend vers «, la fonction ^(0 ne sau- 

 rait tendre vers une limite déterminée différente de a . Les chemins du cercle ' 1 1 < 1 qui 

 aboutissent au point S = « sont donc de deux espèces: sur les uns la fonction (/(0 tend vers 

 la limite a, sur les autres elle est oscillante. 



On peut se demander, avec M. Study 0, quels sont les chemins sur lesquels f/(C) tend 

 vers la limite a. Le théorème étabh au n"6 nous permet d'énoncer à ce sujet le résultat suivant: 



') Notice sur ses travaux scietitifiques. (Paris 1900). pages 17 — 18. 

 -) Voir le § 8 du travail cité au début. 



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