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"....,' La fonction <f{0 tend uniformémenl vers la limite a lorsque C tend vers le point a dans 

 un angle quelconque ayant ce point comme sommet et dont les côtés forment avec le rayon a des 

 angles inférieurs à :5 • 



Ce résultat se déduit immédiatement du théorème du n" 6 en faisant la représentation 

 conforme du cercle |C!^1 sur un domi-plan. 



14. Soit maintenant U une ligne simple comprise dans le domaine T et aboutissant 

 au même point a de sa frontière que la ligne L, et définissons à l'aide de cette ligne U le 

 point a',., la coupure s', et le domaine t',- comme nous avions défini au n° 11 le point a,-, la 

 coupure s,- et le domaine t,. en partant de la ligne L. A L' correspond dans le cercle | C| < 1 

 une ligne simple yi' aboutissant à un point déterminé C=«' de la circonférence |f|=:l. 

 Désignons par «'• le point de A' correspondant à a',-, par a',, la coupure du cercle |?|<1 cor- 

 respondant à s',., et par r',. la portion de ce cercle qui correspond au domaine t',.. 

 j Si les domaines t,. et t'r restent identiques quelque petit que soit r, il en est de même 



de T,. et T,'., et, puisque ces derniers domaines se réduisent respectivement aux points « et «' 

 Içrsque r tend vers zéro, on aura donc a' = a. 



Inversement, si «' = «, les domaines t,- et t',. resteront identiques quelque petit que 

 soit r. En effet, puisque les segments a a,, et a a',, des lignes L et L' ne rencontrent pas la 

 circonférence |s — a|=r, les segments a a,, et ««',. des lignes ^ et ^' ne rencontreront ni la 

 coupure a,., ni la coupure, ff^. Chacune de ces coupures sépare donc les points «,. et «',. du 

 centre du cercle, d'où il suit que chacune des coupures Sr et s',, sépare les points a,, et a',, du 

 point 0. Si ces dernières coupures étaient distinctes, il en serait de même des coupures a,, et 

 0-;, de sorte que ou bien la coupure a,, serait intérieure au domaine <, ou bien la coupure ff,' 

 intérieure au domaine t,.. Or si le premier cas se présentait, la ligne yi' rencontrerait a,- 

 avant o'r, et, par suite, la ligne L' rencontrerait s,- avant de rencontrer s',.. Mais ceci est 

 impossible puisque, parmi les différentes coupures du domaine T qui font partie de la cir- 

 conférence \z — a\=r et qui séparent le point a',, du point 0, la coupure s',, est, par défini- 

 tion, la première que rencontre la ligne L'. On voit de même que la coupure a',, ne saurait 

 être intérieure au domaine t^. Donc les coupures s,- et s', se confondent, d'où il suit que les 

 domaines *,. et t',- sont identiques. 



Donc tous les chemins aboutissant au point a sur lesquels f{s) tend vers la limite a, 

 restent, quelque petit que soit r, compris dans le même domaine l.,. à partir de certains de 

 leurs points, et, inversement, la fonction f{s) tend vers la limite « sur tout chemin jouissant 

 de cette propriété. ,|, ,,,, ,l„,,,i ,,, , 



Supposons maintenant que les limites « et «' vers lesquelles tend /(0) sur les lignes 

 L et U soient différentes entre elles. Les domaines t,. et < seront alors extérieurs l'un à 

 l'autre dès que r est inférieur à une certaine limite, d'où il suit que les domaines t,. et t',. 

 n'auront pas de point intérieur commun. Dans ce cas on convient de désigner le point c = « 

 auquel aboutit la ligne L et le point' s = a auquel aboutit, la ligne L' comme deux points 

 distincts, bien que de même affixe, de la frontière du domaine T. 



En adoptant cette locution, nous pouvons résumer comme suit nos résultats relatifs 

 aux points accessibles: 



Tom. XLVl. 



