Sur un principe général de VAnalijse. 25 



A tout point accessible de la frontière du domaine T correspond un point déterminé de la 

 circonférence | f | = 1 . 



A deux points orcessibles distincts, d'affixes différents ou égaux, correspondent toujours 

 deux points distincts de cette circonférence. 



15. Désignons par (a) l'ensemble des points accessibles de la frontière du domaine T 

 et par («; l'ensemble des points correspondants de la circonférence |C1 = 1. Comme nous 

 l'avons déjà dit, l'ensemble {a) est dense partout sur la frontière de T. Nous allons main- 

 tenant faire voir que Vensemhle {a) est dense parlonl sur la circonférence fcj = l. 



Soit en effet ?„ un point quelconque de cette circonférence, et soit s^ une valeur- 

 limite de la fonction (f(C) au point Co lorsqu'on s'en approche suivant le rayon Ot„. Le point 

 z = s„ est nécessairement situé sur la frontièi'c du domaine T. 



Quelque petit que soit r, on peut choisir sur le rayon Ot„ un puiiit i."' tel que la dis- 

 tance v' du point correspondant z'=if{t') au point ;„ soit inférieure à r. La circonférence 

 \z — z^\=r\ qui passe par le point z\ est divisée pur la frontière de T en un nombre fini 

 ou infini d'arcs distincts, dont nous désignerons par s' celui qui contient le point z' . Soit a' 

 la coupure du cercle | C| :^ 1 Qui correspond à s'. 



D'après le n" 9, on a pour tout point t de la coupure g' l'inégalité 



'siog:^ 



I arg i - arg C | = | arg X. - arg U\<^ arc tång I/ f-^ 



' log — 



r 



si i"<ro. Les extrémités de la coupure en question seront donc aussi voisines de to qu'on 

 voudra si Ton a choisi r suffisamment petit. Or ces points font partie de l'ensemble (a). 



16. Il peut arriver que l'ensemble (a) ne comprenne pas tous les points de la circon- 

 férence jC =1. Chaque point de cette circonférence qui ne figure pas dans (a) est caracté- 

 risé par ce fait qu'il n'existe dans le cercle |C|<1 aucun chemin continu aboutissant à ce 

 point sur lequel la fonction y(0 tendrait vers une limite déterminée. Soit X,^ un point de 

 cette espèce. 



Imaginons dans le plan des s un réseau de carrés dont les côtés, de longueur d infé- 

 rieure k qy2, sont respectivement parallèles aux axes des coordonnées, l'un de ces carrés 

 ayant pour centre le point qui correspond au point C=0. M. Carathéodory a démontré i) 

 qu'on peut, à l'aide de ce réseau, définir un nombre fini de coupures du domaine T, chacune 

 de longueur inférieure à dd, qui le divisent en domaines partiels dont celui qui renferme le 

 point n'atteint pas àja frontière de T, tandis que chacun des autres est limité par une de 

 ces coupures et une portion de la frontière de T. 



A ces coupures correspondent, dans le plan des t, des coupures divisant le cercle 

 |Ci<l en des domaines distincts, dont l'un, qui renferme le centre du cercle, n'atteint pas à 



') Über die Begrenzung einfacli zusatninentiängender Gebiete, page 3-tO. 

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