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la circonférence i i | = 1 , tandis que chacun des autres est limité par un arc de cette circonfé- 

 rence et l'une des coupures en question. Les extrémités de ces coupures sont distinctes du 

 point ^11, puisqu'elles figurent dans l'ensemble [a). 



Parmi ces domaines du cercle | ? | :^ 1 choisissons celui dont le contour comprend le 

 point t„. Nous désignerons par X la coupure qui sépare ce domaine du reste du cercle, et 

 par l la coupure correspondante du domaine T. 



Imaginons maintenant qu'on applique le même procédé <(ue ci-dessus en remplaçant 

 successivement d par f , -^, ..., — ,... . On arrive ainsi à une suite bien déterminée de cou- 

 pures du domaine T, f 

 (6) /,?,,/„...,/„,..., 



dont les longueurs tondent vers zéro et auxquelles correspondent, dans le cercle |C!<1, des 



coupures 



(6)' /, A,, ^2, . . ., ^„, . . . 



dont les extrémités sont distinctes du point fo ''t 'i>ii séparent ce point du centre du cercle. 



9 d 



La longueur de la coupure /„ étant inférieure à la quantité -^, les théorèmes des n"" 



8 et 9 nous apprennent que, dès que cette quantité est inférieure à la limite r, calculée page 

 18, les inégalités 



|l-fc1< ^ ^^i:^> |argC-argCol<4arctang^ — -^ 



log ' 1- log log 



sont vérifiées pour tout point ^ de la coupure 1„. Donc l„ tend vers le point fo lorsque n 

 augmente indéfiniment. 



Les extrémités des coupures (6) admettent un ou plusieurs points-limites, tous situés 

 sur la frontière du domaine T. Soit ^^^ un de ces points, et, de So comme centre, traçons une 

 circonférence C,- de rayon r ( < g ) . 



Il est facile de voir que, parmi les arcs de cette circonférence qui sont intérieurs au 

 domaine T, il y en a au moins un auquel correspond dans le cercle | ? | ^ 1 une coupure sépa- 

 rant le point Co du centre C = 0. En effet, d'après ce qui précède, il y a parmi les coupures (6) 

 une infinité qui sont intérieures au cercle C,-. Soient l„ une de ces coupures, P un point de 

 /„ distinct de ses extrémités, et /7 le point correspondant de la coupure l„. Puisque les 

 points P et sont situés respectivement à l'intérieur et à l'extérieur de C,., l'un au moins 

 des arcs de C,- qui sont intérieurs à T sépare ces points l'un de l'autre {voir la note page 20). 

 Soit s un arc de C,. jouissant de cette propriété. La coupure correspondante du cercle | f | < 1 

 sépare le point // du point C=0, et, comme elle n'a aucun point commun avec la coupure X„, 

 puisque s et l,, n'ont pas de point commun, elle sépare donc toute cette coupure, et par suite 

 aussi le point to, du centre du cercle. 



Soient, par (irdre de longueurs décroissantes, 



,„. ' (1) (2) (") 



(7) .s,. , s, , s,. , . . . 



Tom. XLVl. 



