Sur un 'principe général de V Analyse. 27 



les coupures du domaiue T faisant partie de la circ<iiilérence C,- auxquelles correspoudent, 

 daus le cercle jCi^l, des coupures 



,„,, (I) (2) (") 



(7)' fi, ,0, ,.. .,<r, 



séparant le point Co du centre du cercle. 



Parmi les coupures (7)' il y a une (|ui est extérieure à toutes les autres, de sorte qu'elle 

 les sépare du centre du cercle '). Soit g,- cette coupure bien déterminée et s,, l'arc correspon- 

 dant de la circonférence C,, et désignons, d'autre part, par t,. la portinn ((ue a,, retranche du 

 cercle |C|<1 et qui admet io comme point de contour, et par i,- la portion correspondante 

 du domaine T. 



Pour toute valeur de r inférieure à q nous avons ainsi défini un domaine partiel t,- 

 de T, limité par un certain arc s,- de la circonférence \2 — Zg\ = r et une portion de la fron- 

 tière de r, auquel cdrrespoiul dans le cercle !£|<1 un dnmaine r,. limité par la Cdupure a,., 

 correspondant à s,., et un arc de la circonférence |C| = 1 qui comprend le point Co- 



Si »•'<r, le domaine t,.. fait nécessairement partie de t,., d'où il suit que le domaine 

 t,-' fait partie de tr. En effet, puisque la coupure s,- et le point sont respectivement inté- 

 rieure et extérieur à la circonférence | s — 0,, | = r, il y a certainement un arc de cette circon- 

 férence qui sépare s,- de (voir page 20). La coupure correspondante du cercle |Cl^l sépare 

 ff,.. et par suite aussi le point to du centre fe = 0, d'où il suit ((u'elle figure parmi les cou- 

 pures (7)'. Puisque, par définition, a,, est celle de ces coupures qui sépare toutes les autres 

 du centre du cercle, elle séparera donc aussi la coupure ff,.. de ce point, ce qui démontre l'exac- 

 titude de notre assertion. 



Donc, lorsque r décroît, les domaines /,• et r,. se rétrécissent constamment. Puisque 

 la coupure s,- tend vers le point .ï^ lorsque r ti'ud vers zéro, la coupure a,., d'après les théo- 

 rèmes des n"' 8 et 9, tendra vers le point to^ de sorte que le domaine t,. se réduira à la hmite 

 à ce seul point. Comme plus haut (page 23) on en conclut que, pour (- = 0, le domaine /,. 

 se réduit à l'ensemble E^ dos points ayant pour affixes les différentes valeurs-limites de la 

 fonction y(0 au point ?„, ou, en d'autres termes, au domaine d'indétermination de la fonc- 

 tion (fit) relatif à ce point. Puis(jue cette fonction est, par hypothèse, indéterminée au point 

 to, -Ef^ est un ensemble infini, nécessairement continu. 



L'ensemble E^^ comprend évidemment le point z„, puis(iue la coupure s,- tend vers ce 

 point lorsque r décroit vers zéro. D'après ce qui précède, le point ^o jouit de la propriété 

 suivante : 



Quelque petit qu'on se donne le rayon r, il existe toujoui's au moins un arc de la cir- 

 conférence \z — Zo\=r auquel corresponde, dans le cercle !C|<1, une coupure séparant le 

 point fo du centre de ce cercle. 



Appelons avec M. Carathéodort points principaux de E^^ les points de cet ensembli' 

 qui partagent avec Zg la propriété eu question. Les autres points de E^^ seront appelés points 

 accessoires. 



') Ceci est évident s'il n'y a qu'un nombre fini de coupures (7)', puisqu'elles ne se coupent pas à 

 l'intérieur du cercle, et résulte, dans le cas où le nombre de ces coupures est infini, des théorèmes des nos y 

 et 9, qui font voir que a'"' tend vers le point J„ lorsque n croît indéfiniment. 



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