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Les résultats obtenus ci-dessus pour le point So s'appliquent évidemment à tout point 

 principal de E> , et nous pouvons donc adjoindre à chacun de ces points un domaine jouis- 

 sant des mêmes propriétés que le domaine l,- défini ci-dessus. 



17. Soit t = tn '111 point do la circonférence |C| = 1 qui ne figure pas dans l'ensemble 

 {«), et soit Zn l'affixe d'un point principal quelconque de l'ensemble E.. D'après les pro- 

 priétés des points principaux, il existe dans un voisinage arbitrairement restreint du point Co 

 des coupures qui le séparent du centre f = et sur lesciuelles la différence (f'{t) — Zo est infé- 

 rieure en valeur absolue à telle quantité qu'on voudi'a. On eu tire cette conclusion: 



Sur un chemin continu quelcon(|ii(' du cercle |fî<l qui aboutit au point Co, la fonc- 

 tion (p(C) admet comme valeurs-limites les affixes de tous les points principaux de l'en- 

 semble Ej . 



M. Carathéodory a démontré') qu'il existe dos chemins sur lesquels la fonction (/-(C) 

 n'admet d'autres valeurs-limites que celles-là, mais il n'est pas arrivé à définir ces chemins 

 d'une manière précise. M. Study a émis la supposition ^) que la propriété en question appar- 

 tient au rayon aboutissant au point Co- Enfin M. Koebe a démontré ^) que, si la supposition 

 de M. Study est exacte, toute corde issue du point Co jouit de cette même propriété. 



La méthode dont nous nous sommes servi systématiquement dans ce Mémoire va nous 

 permettre de trancher cette question, en démontrant le théorème que voici: 



Sur un chemin qui tend vers le poinl Co ^'^ 'c^^*^ manière qu il reste, à yartir iVun certain 

 point, coinpris entre deux cordes issues de Co, ^f* fonction '/"(C) iw saurait admettre comme raleur- 

 limile Vaffixe d'aucun point accessoire de Vensemhle Ë^^. 



Au lieu de deux cordes issues du point Co, envisageons deux arcs de cercle, r, et r^, 

 joignant ce point avec le point diamétralement opposé Co {roir la figure page 29). Si notre 

 théorème n'était pas vrai, il existerait dans l'aire limitée par r, et r.^ une suite de points 



(8) n,,n^,...,ii 



H , • • 



tendant vers Co, tels que les valeurs de la fonction (/(C) en ces points tendraient vers l'af- 

 fixe z' d'un point accessoire de E^ . Les points correspondants 



(8)' P,,F., V 



du domaine T tendraient donc vers le point z = z', qui est situé sur la frontière de ce domaine. 

 De z' comme centre traçons une circonférence de rayon r«ç), et désignons par (s) 

 les arcs de cette circonférence intérieurs au domaine T, et par {a) les coupures correspon- 

 dantes du cercle !Ci<l. D'après la définition des points accessoires de Ej, il arrivera 

 pour une certaine valeur r^ de r qu'aucune des coupures {a) ne sépare le point Co du point 



') Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete, Chapitre III. 

 ') Voir le § 8 du travail cité au début. 

 ■') Ibidem, page 127. 



Tom. XLVI. 



