Sur un prirwipe général de V Analyse. 29 



t = 0. Cette même circonstance se présentera alors aussi pour toute valeur r inférieure à »"o. 

 comme on le voit par un raisonnement répété déjà plusieurs fois. 



Puisque les points (8)' tendent vers le point z', ils seront, à partir d'un certain d'entre 

 eux, P„,, tous intérieurs au cercle \z — 2"\<rg. Soit r, la distance de Pv, au point z', et soit 

 s,-, celui parmi les arcs de la circonférence \z — z'\=r, interceptés par le domaine T qui con- 

 tient le point P,,. A s,., correspond dans le cercle |?|<1 une coupure, ff,, , iiui passe par le 

 point //„, et laisse du même côté les points C=fo et C = 0. 



Le point P„, étant intérieur à la circonférence \z — z' \ = r„, il se trouvera nécessaire- 

 ment des arcs de cette circonférence (|ui séparent l'„, du point 0. Les coupures correspon- 

 dantes du cercle | C| ^ 1 sépareront le point //„,, et par suite aussi ff,,, du centre du cercle, d'où 

 l'on conclut, d'après les n"' 8 et 9, que leur nombre est nécessairement 

 fini. Comme d'ailleurs ces coupures ne se rencontrent pas à l'inté- 

 rieur du cercle, l'une d'elles sera extérieure à toutes les autres. 

 Nous désignerons cette coupure bien déterminée par (t_. , et par 

 s,, l'arc correspondant de la circonférence \z — z'\ = rg. 



Parmi les points (8) qui suivent //„,, soit A/.,, le premier 

 situé du même côté de la coupure a. (|ue le centre du cercle, 

 et soit c.^ la distance du point correspondant I\^ au point z'. En 

 partant du point Pv,, définissons l'arc s,-, de la circonférence 



(2) 



\z — z'\ = r2 et l'arc s^, de la circonférence \z — z' =ro comme 



nous avions défini s,., et s. en partant du point P.,,. A s,-, cor- 



respondra dans le cercle |ç|<l une coupure ff,.^ passant par le point //„,, à s]'' une coupure 



ff,^ séparant //„, et a,-, du centre C=ü. Puisque ff. ne sépare pas //,, de ce point, les cou- 



(1) (2) , (2) 



pures a^^ et «r^.^ seront nécessairement distinctes, d'où il suit (pie l'arc s,, est distinct de l'arc 

 s,.^ , ce qui est essentiel pour la suite. 



Choisissons maintenant, parmi k's points qui suivent //>, dans la suite (8), le premier 



(Il l2l 



point //„, qui soit extérieur aux coupures a^. et ff . . En suivant les mêmes principes que ci- 

 dessus, nous trouverons une coupure a,-, passant par //„,, et une coupure ff. qui sépare 



(3) 



/Jv,eta,., du point C = et à la(juel]e correspond un arc s^, de la circonférence \z — 2'\=rg 

 qui est distinct des arcs s, et s.. . 



Ce procédé peut se poursuivre indéfiniment. 



(1) (2) 



Puisque les arcs s,. , s,. , . . . de la circonférence \z — z'\ = ro sont tous distincts entre 

 eux, leurs longueurs tendent vers zéro. En désignant par z„ l'affixe du milieu de l'arc s,", 

 on voit donc (pie, (juelque petit qu'on se donne le nombre positif «, on pourra trouver un 

 entier positif n. tel qu'on ait 



(9) \<f{Ç) — z„\<i£ sur la coupure a^' dès que n^n^. 



Puisque les arcs s,,, s,-,, . . . tendent vers le point z', il existe d'autre part un entier positif n'^ 

 tel que l'on ait — 



(2) 



■V 



