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Ernst Lindelöf. 



(10) 



^■(0 — s'i<« «ur la coupure <t,.^_ dès que n>jiç. 



D'après le théorème établi au n" 9, les longueurs des arcs que les coupures (t,._, et o" 

 interceptent de la circonférence | C î = 1 tendent vers zéro lorsque n augmente. D'autre part, 

 comme a,.^ passe par le point /7„^ qui tend vers fo lorsque n croît, le même théorème nous 

 apprend que les extrémités de la coupure a,.^ tendront vers le point ^o- H en sera donc du 

 même des extrémités de la coupure ffj qui comprennent entre elles celles de (t,-,,- Puisciue 

 d'ailleurs aucune de ces coupures ne sépare le point tn clu centre C = 0, nous pouvons de 

 tout cela tirer cette conclusion que, à partir d'une certaine valeur de n, les extrémités des 

 deux coupures a,.^^ et a,.^ feront toujours partie du même arc Co Cô ^^' la circonférence i ^ | = i . 



Après ces préliminaires, nous allons appliquer à la fonction y(0 les considérations 

 développées au n" 3. Afin de simplifier la discussion, effectuons d'abord un changement de 

 variable en posant 



(11) 



u = log 



s-r. 



Au cercle |Ci<l il correspondra, dans le plan des u, une bande de largeur sr, limitée par 

 deux parallèles KL et K'L' ä l'axe réel qui correspondent aux moitiés de la circonférence 

 1 1 = 1 situées respectivement à droite et à gauche du diamètre Co fô {Cf- la figure page 29). 

 La fonction y(0 se transformera en une fonction de u, 



ip{C)=ip{u), 



(jui est régulière dans cette bande. Aux arcs Tj et r2 correspondront des parallèles à l'axe 

 réel. Enfin les coupures a" et ß,-,,, en admettant que leurs extrémités fassent partie de l'arc 

 Co Ci situé à droite du diamètre Co?o> seront transformées en des lignes ABC et A^BiCi 



k: 



K'. 



L' 



disposées comme l'indique la première des figures ci-dessus, où la droite EF correspond à 

 l'arc r,. 



D'après les résultats (9) et (10) on a, en supposant que n est supérieur aux entiers 

 ne et n'e, 

 (9)' 1 (/' (m ) — 2„ I < « sur la ligne ABC 



et d'autre part 



(10)' 1 ip{u) — s' i<« sur la ligne AiBiCy. 



Tom. XLVI. 



