Svr un principe général de l'Analyse. 31 



Or on peut conclure de la première de ces inégalités que, en tout point de la droite 

 EF qui est intérieur au domaine U limité par la ligne ABC et le segment rectiligne AC, 

 l'expression | ip{u) — z„\ reste inférieure à une certaine expression qui tend vers zéro avec « 

 et qui ne dépend pas de n. 



Portons en effet, sur la plus grande ordonnée HB de la ligne ABC par rapport à 

 l'nxe KL, un segment HB' égal à 3//B, ft menons par les points B et B' des parallèles 

 MN et M'N' ä l'axe réel (voir la seconde figure ci-dessus). Puis choisissons dans le domaine 

 U un point quelconque F situé sur la droites M'N' ou au-dessus d'elle, et, de ce point comme 

 centre, traçons un cercle tangent à la droite KL. Soit Si la portion commune de ce cercle 

 et du domaine U qui renferme le point F, et désignons enfin par il/, et A^ les points où le 

 ciTclc en ((uestion coupe la droite MN. 



I^a fonction i/'(m) — s„ est régulière dans Si, et son module est inférieur à K en tout 



point de ce domaine et inférieur à * sur les arcs de son contour qui font partie de la ligne 



ABC. Puisque, d'après notre construction, l'arc M, 2V, du cercle considéré, qui est extérieur 



au domaine .'.', comprend au moins un tiers de sa circonférence, nous pouvons en conclure, 



d'après le n° 3, qu'on a au point F 



•2 1 

 (12) * \if>{v)-z„\<K^s3. 



Cotte inégalité sul)siste donc en tout point du domaine U situé sur M'N' ou au-dessus de 



cette droite. 



Désignons par U' la portion du domaine Ü située au-dessous de la droite M'N'. En 



2 1 

 admettant que «</v, d'où l'on tire 7v^«^>f, l'inégalité (12) sera vérifiée sur le contour de 



U', excepté le segment rectiligne AC. Dès lors, si l'on mène une parallèle M"N" à l'axe 



réel à la distance ^HB' = i~\ HB de la droite KL, on conclut par le même raisonnement 



que ci-dessus (|ue l'inégalité 



2/ - i\l ^/i 1\ 1 

 (12)' \ili(v)-z„]<K^[K^fV ^/v-ls + s'^^s' 



est vérifiée en tout point du domaine U qui est situé sur M"N" ou au-dessus de cette droite. 

 En poursuivant le même raisonnement on trouve que, quel que soit l'entier p, l'inégalité 



1 

 (12)" |</'(»)-^-.|<A"f 3" 



aura lieu pour tout point du domaine U dont la distance à la droite KL est supérieure ou 



egale à l~l HB, K' désignant une constante positive qu'on peut egaler à A' si 7v > 1, et à 



2 

 K3 si /i<l. 



La distance BG des droites EF et KL vérifie l'inégalité sty-HB'^HQ. En déter- 

 minant l'entier p„ par la condition 



/ 0\Pg 



/ O \ Pg 



(i) -<^G, 



N:o 4. 



