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on aura donc pour tout point de la droite EF compris dans le domaine U 



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(13) \<Piu)-z„\<K'€3'". 



C'est l'inégalité que nous avions annoncée ci-dessus. 



La ligne AiB^Ci aura au moins deux points communs avec la droite EF (les points 

 El et Fl dans la première figure page 30). Eu ces points les inégalités (10)' et (13) auront 

 donc lieu en même temps, d'où l'on déduit 



1 



Mais on a |s„ — s'| = ru pour tonte valeur de n, de sorte qu'il vient 



j 



Or cette conclusion implique une contradiction si l'on a choisi le nombre s suffisamment petit, 

 et notre théorème est donc exact. 



D'après ce théorème, l'ensemble des points principaux do E^^ se confond avec le 

 domaine d'indétermination de la fonction (p{C) au point io relatif à la portion du cercle 

 |t < 1 comprise entre deux arcs de cercles tels qm^ l\ et r^ {voir la figure page 29). Il en 

 résulte que les points principaux de E^^ forment un ensemble continu, résultat qui avait déjà 

 été obtenu par M. Carathéodort par une autre voie {Cf. la première note page 28). 



18. En terminant ce Mémoire nous allons enfin, ne fût-ce que pour prouver l'effica- 

 cité de notre méthode, établir un théorème nouveau relatif aux propriétés de la fonction y (Q 

 dans le voisinage d'un point de la circonférence |C| = 1 qui ne figure pas dans l'ensemble («). 



Soit fo un tel point, et soient s« et z'a les affixes de deux points principaux distincts 

 de l'ensemble E^. Il existe alors dans le cercle |ti^l deux suites de coupures tendant vers 

 le point Co: 



(14) ff,,ö-2,. . .,ö-„,. . . 

 et 



(14)' (Tl.ffL..-,^,;,..., 



qui vérifient les conditions suivantes: 



1" Chacune de ces coupures sépare le point Co du point C = 0. 



2° Chaque coupure sépare celle qui la suit du point C=0. 



3° Entre les coupures a„ et ß„ + i de la suite (14) est toujours comprise la coupure a'„ 

 de la suite (14)'. 



4° Sur a„ la fonction y(C) tend vers la limite z^ et sur a'„ vers la limite c'^ lorsque n 

 augmente indéfiniment. 



Traçons dans le cercle I CI < 1 un are de cercle r joignant le point Co avec le point 

 diamétralement opposé C'o, et désignons par y„ le dernier point où cet arc renconti'e la cou- 



Tom. XLVI. 



