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En admettant que la distance des droites EF et K'L' soit ^ ~, désignons par G'„ et 

 G'„ + i les premiers points, à partir de B„ et B„ + i, où les lignes B„A„ et B„ + iA„ + i ren- 

 contrent EF (dans la figure le point G'„ + i se confond avec G„ + j). On aura 



(16) g:,g'„+i<i. 



Faisons maintenant la représentation conforme de la bande comprise entre les droites 

 EF et K'L' sur le cercle |v|<l, de façon que ces droites correspondent respectivement aux 

 moitiés inférieure et supérieure de la circonférence \v\ = l et que le milieu du segment 



Plan des v 



G'„G'„ + i corresponde au point v = — i. Soient h„g'„ et h„ + ig'„ + i les lignes du cercle \v\<l 

 correspondant à B„G', et B„ + iG'„ + i. En tenant compte de l'inégalité (16) et de ce que la 

 distance des droites EF et K'L' est >^, on conclut aisément que la longueur de l'arc 

 g'„g'„ + i, lequel admet comme milieu le point —i, est inférieure à est, où ft désigne un nombre 

 positif plus petit que l'unité qui reste le même quelque grand que soit n,, {voir la seconde 

 figure ci- dessus). 



Posons (p(^) — U'{u) = xiv) et considérons la fonction /(i)) — Sq. Elle est régulière 

 dans le cercle 1 1; ^ < 1 , et soii module est inférieur à K en tout point de ce cercle et inférieur 

 à tel nombre « qu'on voudra sur les lignes h„g'n et b„ + ig'„ + i si l'on a choisi l'entier rio suffi- 

 samment grand. Or chacune de ces hgnes retranche de la circonférence h' | = 1 un arc dont 

 la longueur est >^ (1 — 0). En déterminant l'entier p par la condition 



on peut en conclure que l'inégalité 



?^<|(i-e), 



x{v)-Zo\<K " t" 



a lieu pour tout point P de l'axe réel compris entre le dernier point, c„ + i, où l'on rencontre 

 la ligne b„ + ig'„ + i et le premier point, c„, où l'on rencontre la ligne b„g'„ en suivant l'axe 

 réel depuis v = — läv = l. En effet, en faisant la représentation conforme du cercle \v\<l 

 sur lui-même de telle façon que les points — 1 et 1 restent invariants tandis que le point 

 P soit transféré au centre du cercle, on constate aisément, à l'aide des propriétés bien con- 



Tom. XLVI. 



