Die Strahlenbündel des Lobatscheffskij'schen Raums. 



1. Es giebt im Lobatscheffskij'schen Raum dreierlei Arten von Strahlenbündeln. Das 

 Bündel erster Art besteht aus allen Geraden, die durch einen Raumpunkt gehen; das Bündel 

 zweiter Art oder das Parallelenbündel enthält alle Geraden des Raums, die mit einer gegebe- 

 nen Geraden in der einen Richtung und also mit einander parallel sind; das Bündel dritter 

 Art schliesslich ist aus allen Geraden zusammengesetzt, die auf derselben Ebene, der Polar- 

 ebene des Bündels, senkrecht stehen. 



Jede durch einen Bündelstrahl gehende Ebene nennen wir eine Diametralebene des Bün- 

 dels; der Schnitt zweier Diametralebenen ist wiederum ein Strahl des Bündels. 



Diejenigen Strahlen, die eine Diametralebene erzeugen, bilden ein ebenes Strahlenbüschel. 

 Jenachdem das Bündel von der ersten, zweiten oder dritten Art ist, besteht das ebene Büschel 

 aus allen Strahlen der Diametralebene, die durch einen Punkt gehen, aus allen Strahlen eines 

 ebenen Parallelenbüschels oder aber aus allen Strahlen, die auf der Spurlinie der Polarebene 

 in der Diametralebene senkrecht stehen. Die Spurlinie nennen wir die Polare des ebenen 

 Büschels. Übrigens sagen wir, dass die dreierlei Strahlenbüschel bezw. von der ersten, zwei- 

 ten oder dritten Art sind. 



2. Man bemerkt sogleich, dass eine behebige Ebene und eine in ihr nicht liegende Ge- 

 rade immer demselben Strahlenbündel als Diametralebene und Strahl angehören. Sie bestim- 

 men dabei das Bündel eindeutig. 



Ist nämlich g die Gerade und E die Ebene und g' die Projektion von g auf E, so sind 

 drei Möglichkeiten vorhanden. Entweder schneidet nämlich g die Projektion g', oder aber g 

 und g' sind parallel, oder sie haben schliesslich eine geraeinsame Senkrechte. Im ersten Fall 

 bestimmen g und E ein Bündel erster Art mit dem Schnittpunkt als Bündelzentrum; im zwei- 

 ten Fall bekommen wir ein Bündel zweiter Art, falls wir diejenigen Geraden in Betracht zie- 

 hen, die mit g und g' parallel sind. Wenn wir im dritten Fall die geraeinsame Perpendikular- 

 ebene zu g und g' durch ihre gemeinsame Senkrechte legen, so bilden diejenigen Strahlen, 

 die auf der Perpendikularebene senkrecht stehen, das geraeinte Bündel dritter Art des Rauras. 



3. Die Frage nach dem Schnitt zweier Diaraetralebenen erledigt sich einfach für die Bün- 

 del erster Art. Die Diametralebenen schneiden sich nämlich dann immer, weil sie das Bün- 

 delzentrum gemein haben und es giebt somit nur noch eine Art von Ebenenbüscheln inner- 

 halb des Bündels, nämlich das Büschel aller durch einen Bündelstrahl gehenden Ebenen. 



