4 Severin Johansson. 



In den Bündeln zweiter und dritter Art liegt die Sache anders. Um uns über die hier 

 vorkommenden Möglichkeiten zu orientieren, bemerken wir vorläufig, dass zwei Ebenen E^ 

 und E-i, die auf einer dritten E senkrecht stehen, sich schneiden oder nicht jenachdem ihre Spur- 

 linien üi und a^ auf E sich schneiden oder nicht. 



Der positive Teil des Satzes ist unmittelbar einleuchtend, denn der Schnittpunkt von a^ 

 und a2 ist ebenfalls Schnittpunkt von E^ und E^. Dabei ist die vom Schnittpunkt auf E gezo- 

 gene Senkrechte die Schnittlinie von E^ und E^. 



Wenn aber a^ und a^ sich nicht schneiden, kann kein Schnittpunkt zwischen E^ und 

 E2 vorkommen. Es müsste nämlich die von dem Schnittpunkt auf E gezogene Senkrechte 

 sowohl El wie E.^, angehören und somit ihre Schnittlinie sein. Daraus würde dann folgen, 

 dass tti und a^ durch den Fusspunkt der Senkrechten auf E gehen würden und sich somit 

 schneiden müssten. 



Liegt nun ein Bündel dritter Art vor, so stehen sämtliche seine Diametralebenen senk- 

 recht auf der Polarebene. Zwei solche Ebenen schneiden sich also oder nicht, jenachdem ihre 

 Spurlinien auf der Polarebene sich schneiden oder nicht. Fassen wir in diesem Fall als Ebe- 

 nenbüschel alle diejenigen Ebenen zusammen, die aus der Polarebene ein ebenes Strahlen- 

 büschel ausschneiden, so bekommen wir, da es drei Arten solcher Strahlenbüschel giebt, 

 ebenfalls drei Arten von Ebenenbüscheln. 



Durch jeden Strahl des Bündels gehen unendlich viele Ebenen, die~eine vorgelegte den 

 Strahl nicht enthaltende Ebene des Bündels schneiden, und unendlich viele Ebenen, die 

 diese Ebene nicht schneiden. Die beiden Arten von Ebenen werden von einander durch zwei 

 Ebenen der letzteren Art getrennt, deren Spurlinien in der Polarebene die beiden durch den 

 Spurpunkt des Strahls zu der Spurlinie der vorgelegten Ebene gezogenen Parallelen ausmachen. 



Bei dem Bündel zweiter Art geht aus dem obigen Satz unmittelbar hervor, dass zwei 

 Diametralebenen, die auf einer dritten senkrecht stehen, sich nicht schneiden. Wir können aber 

 auch umgekehrt zeigen, dass zwei Dianietralebenen, die sich nicht schneiden, auf derselben 

 dritten Diametralebene senkrecht stehen. 



Es seien Ei und E^ die beiden Ebenen. Weiter sei a^ ein beliebiger dem Bündel ange- 

 höriger Strahl in E^, a.2 seine Projektion auf E2. Wiv behaupten, dass die von «i und a^ be- 

 stimmte Diametralebene E, die ja auf E2 senkrecht steht, ebenfalls auf -ÈJ, ortogonal ist. 



Wir betrachten deshalb eine Gerade p, die durch einen beliebigen Punkt Pj auf «1 gegen 

 E2 senkrecht gezogen ist und also Ui in einem Punkt F^ schneidet. Wir projizieren p auf E^ 

 und bezeichnen die Projektion mit Pi . Weiter projizieren wir pi auf E2 und nennen die Pro- 

 jektion P2. Es geht dann natürlich ^, durch P, und P2 durch P2. 



Wenn nun £', nicht auf E senkrecht steht, so fällt Pi nicht mit aj zusammen. Folglich 

 ist der Neigungswinkel {p,Pi) von p gegen Ei kleiner als der Winkel ip,ai). Der Winkel 

 ip,ai) ist aber der zum Abstand Pi P2 gehörende Parallelwinkel n{PiP2). Also ist 



ipp^X/HPiP^). 



Betrachten wir mmmehr die in derselben Ebene liegenden Geraden p, jo, und P2, so be- 

 merken wir , dass Pi in P^ gegen p senkrecht steht, während Pi in Pi mit p einen Winkel 

 (ppi) einschliesst, der kleiner ist als //(PiP^). Also schneiden sich ^^i und j^a- Daraus folgt 



Tom. XL VI. 



