Zur Theorie der Lobatsche/fskij' sehen Geometrie. 5 



aber, dass die Ebenen Ei und E^ einander schneiden. Das ist aber gegen die Voraussetzung, 

 womit dann bewiesen ist, dass E^ senkreciit auf E stehen niuss. 



Aus dem obigen Beweis folgt, dass jede Diametralebene E, die auf i', oder E^ senkrecht 

 ist, ebenfalls die andere Ebene ortogonal schneidet. Steht nämlich E senkrecht auf E^ und ist et, 

 ihre Schnittlinie, so steht nach dem Beweis diejenige Ebene, die «i auf E-^ projiziert, ebenfalls 

 auf E^ senkrecht und fällt also mit E zusammen, womit die Behauptung bewiesen ist. 



Betrachten wir nunmehr alle Diametralebenen, die eine gegebene Diametralebene Eq 

 nicht schneiden, so stehen sie alle senkrecht auf jeder Diametralebene, die auf E^ senkrecht 

 steht. Daraus folgt dann insbesondere, dass zwei derartige Ebenen sich niemals schneiden 

 können. 



Wir sagen nunmehr, dass zwei Diametralebenen des Bündels zweiter Art, die sich nicht 

 schneiden, parallel sind. Die obige Überlegung zeigt, dass alle Ebenen, die mit einer gegebe- 

 nen Ea parallel sind, ebenfalls mit einander parallel sind und ein Büschel paralleler Ebenen 

 bilden. Ersichtlich bilden alle auf E^ senkrechten Diametralebenen ein zweites Büschel paral- 

 leler Ebenen, die senkrecht auf den Ebenen des früheren Büschels stehen. 



Wir können nunmehr auch schliessen, dass durch jeden Bündelstrahl im Bündel zweiter 

 Art eine und nur eine Ebene geht, die mit einer vorgegebenen Ebene des Bündels parallel ist. 

 Diese ausgezeichnete Ebene ist einfach diejenige Ebene, die durch den Bündelstrahl senk- 

 recht auf diejenige Ebene gezogen ist, die den Bündelstrahl auf die vorgegebene Ebene proji- 

 ziert. Alle anderen durch den Bündelstrahl gehenden Ebenen müssen die vorgegebene Ebene 

 schneiden. 



Ausser dem Büschel paralleler Ebenen haben wir natürlich auch wie in den anderen 

 Fällen diejenigen Ebenenbüschel zu betrachten, deren Ebenen sämtlich durch denselben Bün- 

 delstrahl gehen. 



4. Die hiermit abgeschlossene Überlegung zeigt, dass die Bündel erster und zweiter Art 

 des Lobatscheffskij ' sehen Raums das genaue Analogen zu den beiden Strahlenbündeln des 

 Euklid'schen Raums abgeben, nämlich zu dem Bündel aller durch einen Raumpunkt gehenden 

 Strahlen und dem Bündel aller mit einer gegebenen Geraden parallelen Strahlen. Dem Bün- 

 del dritter Art entspricht keine besondere Konfiguration in dem Euklid'schen Raum, indem 

 nämlich das Bündel aller auf einer Ebene senkrecht stehen;len Strahlen sich auf das Paralle- 

 lenbündel reduziert. 



Mit dem hiermit entwickelten hängt zusammen, dass für die dreierlei Arten von Bün- 

 deln dreierlei Arten von Geometrieen gelten. Die oben durchgeführten Überlegungen über 

 die Bündel zweiter Art zeigen, dass sie in dieser Hinsicht besonders ausgezeichnet sind, in- 

 dem nämlich ihren Ebenen und Strahlen genau dieselben Eigenschaften zukommen wie den 

 Ebenen und Strahlen des Parallelenbündels im Euklid'schen Raum. Besonders ist hervorzu- 

 heben, dass die Summe der drei Kantenwhikel in einem von drei Diametralebenen gebildeten 

 Dreikant zwei Hechte beträgt. 



Es bietet somit das Parallelenbündel oder das Bündel zweiter Art in vieler Hinsicht den 

 natürlichen Eingang dar für die nähere Untersuchung des Lobatscheffskij ' sehen Raums, wie 

 wir später sehen werden. 



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