6 Severin Johansson. 



5. Die ortogonalen Trajektorien flächen der oben betrachteten räumlichen Strahlenbündel 

 im Lobatscheffskij' sehen Kaum oder die s. g. Sphären sind im ersten Fall konzentrische 

 Kugelflächen um das Bündelzentrum als Mittelpunkt. Im zweiten Fall erhalten wir konzen- 

 trische Orenzhugeln {Parasphären), während wir im dritten Fall aeqvidistante Flächen zur Po 

 larebene {Hypersphären) bekommen. 



In einer beliebigen Diametralebene des Bündels sind die Spuren dieser Flächen die orto- 

 gonalen Trajektorien der drei Arten von ebenen Strahlenbüscheln oder die s. g. Zykeln. Im er- 

 sten Fall bekommen wir konzentrische Kreise, im zweiten Fall konzentrische Qrenzkreise {Fara- 

 zykeln), während im dritten Fall die aeqvidistanten Kurven zur Polare (Hyperzykeln) auftreten. 



Besonders wollen wir im zweiten Fall hervorheben, dass der Durchschnitt eines Diame- 

 tralebenenbüschels mit der Grenzkugelfläche ein Grenzkreislmschel ist. Das Zentrum dieses 

 Büschels ist der Durchschnittspunkt zwischen der Büschelachse und der Grenzkugel. Besteht 

 das Ebenen büschel aus allen mit einer gegebenen Ebene parallelen Ebenen, so wird das Grenz" 

 kreisbüschel aus einer Schaar einander nicht schneidender Grenzkreise bestehen. Derartige 

 einander nicht schneidende Grenzkreise nennen wir parallel. 



Da auf der ortogonalen Trajektorienfläche der Winkel zweier Durchschnitte genau gleich 

 dem Winkel der schneidenden Ebenen ist, so können wir alle Schlüsse über parallele Ebenen 

 des Bündels zweiter Art auf die parallelen Grenzkreise übertragen. Jeder Grenzkreis, der auf 

 einem von zwei parallelen Grenzkreisen senkrecht steht, schneidet also ebenfalls den anderen 

 ortogonal. Diejenigen Grenzkreise, die mit je zwei einander ortogonal schneidenden Grenzkrei- 

 sen parallel sind, bilden auf der Grenzkugel ein Ortogonalsystem. Insbesondere kann hervor- 

 gehoben werden, dass durch jeden Funkt der Grenzkugel ein und nur ein Orenzkreis geht, der 

 mit einem vorgegebenen Orenzkreis parallel ist. 



Hiermit hängt dann auch zusammen, dass die Winkelsumme in einem Grenzkreisdreieck 

 zwei Rechte beträgt. Überhaupt deckt sich die Geometrie der Grenzkugel mit der Geometrie 

 der Euklid'schen Ebene. 



Der ebene Schnitt des Bündels zweiter Art. 



6. Wir wollen im Folgenden näher untersuchen, wie eine Ebene E, die nicht Diametral- 

 ebene des Bündels zweiter Art ist, das Bündel schneidet. 



Um dabei die Untersuchung nicht zu unterbrechen, beweisen wir vorläufig folgenden Satz. 



Wenn eine Ebene E zivei parallele Diametralebenen, E^ und E^, senkrecht schneidet, so ist sie 

 selbst Diametralebene des Bündels. 



Wir bezeichnen mit Ci und 62 die Schnitte zwischen E einerseits und Ei und E2 anderer- 

 seits. Weiter legen wir durch einen beliebigen Punkt A^ auf ej diejenige Diametralebene E , 

 die El und E2 senkrecht schneidet. Falls wir nun annehmen, dass E keine Diametralebene 

 ist, so sind die Ebenen E und E' verschieden. Die Schnittgeraden von E' mit -E, und E^ 

 seien Ui und «2- Dann ist A, der Schnittpunkt von ej und a^. 



Weil E und E' den Punkt Ai gemeinsam haben, schneiden sie sich längs einer von Ai 

 auslaufenden Geraden p. Die Gerade j) ist weiter senkrecht sowohl auf£'i wie E^. Sie schnei- 

 det also E2 in einem Punkt A2, der sowohl auf 62 wie a2 liegt und somit ihren Schnittpunkt bildet. 



Tom. XL VI. 



