Zur Theorie der Lobatsche/fshij' sehen Oeometrie. 7 



Weil A, A2 senkrecht sowohl auf E^ wie auf E2 ist, so ist sie die gemeinsame Senk- 

 rechte von tti und aj- Diese Strahlen gehören aber dem Bündel zweiter. Art an und sind 

 folglich parallel. Sie können also keine gemeinsame Senkrechte haben. Hiermit fällt dann 

 auch die Möglichkeit, dass E keine Diametralebene wäre, womit der Satz bewiesen ist. 



Mit Hilfe dieses Satzes können wir unmittelbar folgendes beweisen. 



Ist E eine Ebene, die keine Diametralebene des Bündels ist, so giebt es im Bündel einen 

 und nur einen Strahl, der auf E senkrecht steht. 



Wir projizieren deshalb einen beliebigen Strahl gi des Bündels auf E und nennen die 

 projizierende Ebene Ei. Weiter projizieren wir einen in Ei nicht liegenden Strahl g2 des 

 Bündels auf E und nennen die projizierende Ebene E.^. 



Die Ebenen £■, und E2 sind beide senkrecht auf E. Sie müssen sich folghch schneiden, 

 denn sonst wäre nach dem vorigen Satz die Ebene E eine Diametralebene des Bündels. Die 

 Schnittgerade g^ ist dann die in dem Satz verlangte Senkrechte auf E. 



Es kann nun nicht zwei derartige Senkrechten geben. Denn zwei parallele Geraden kön- 

 nen nicht auf derselben Ebene senkrecht stehen. 



Unter den übrigen Strahlen des Bündels sind diejenigen besonders hervorzuheben, die 

 mit E zusammen ein Bündel zweiter Art bestimmen (vgl. Nr. 2). Diese Strahlen bilden er- 

 sichtlich einen Kegel mit go als Achse, deren Mantelfläche M sich der Ebene E asymptotisch 

 nähert, indem sie sich über die Ebene ausbreitet. 



Von den übrigen Strahlen des Bündels gilt dann ersichtlich, dass sie die Ebene -E schnei- 

 den oder nicht jenachdem sie innerhalb oder ausserhalb der Mantelfläche M verlaufen. Es 

 bestimmen dabei die ersteren Strahlen mit E zusammen Bündel erster Art, während die 

 letzteren Strahlen mit E zusammen Bündel dritter Art festlegen. 



7. Wir betrachten jetzt die Ebenenbüschel des Bündels. Liegt dann die Büschelachse 

 innerhalb von M, so schneidet das Ebenenbüschel aus der Ebene E ersichtlich ein Strahlen- 

 büschel erster Art aus. Wenn dagegen die Büschelachse eine Erzeugende von M ist, so er- 

 halten wir ein Strahlenbüschel zweiter Art, dessen sämtliche Strahlen mit der Projektion 

 der Büschelachse auf E parallel sind. Wenn schliesslich die Büschelachse ausserhalb von M 

 verläuft, so schneidet das Ebenenbüschel ein Strahlenbüschel dritter Art aus, dessen Polare 

 von der gemeinsamen Perpendikularebene der Büschelachse und ihrer Projektion auf E aus- 

 geschnitten wird. 



Es giebt aber noch die aus parallelen Ebenen zusammengesetzten Büschel des Bündels. 

 Legen wir durch g^ die Ortogonalebene eines derartigen Büschels, so müssen die Spurlinien 

 sämtlicher Ebenen des Büschels auf E senkrecht auf der Schnittlinie zwischen dieser Ortogo- 

 nalebene und E stehen. Also wird durch ein Büschel paralleler Ebenen aus E ein Strahlen- 

 büschel dritter Art ausgeschnitten, dessen Polare durch den Fusspunkt von g^, auf E geht. 



8. Es lässt sich nun auch umgekehrt zeigen, dass alle Strahlenbüschel in E durch 

 Ebenenbüschel des Bündels ausgeschnitten werden. 



N:o 7. 



