8 Severin Johansson. 



Ist das Strahlenbüschel von der ersten Art, so brauchen wir nur den durch das Büschel- 

 zentrum gehenden Strahl unseres Bündels zur Achse eines Ebenenbüschels zu nehmen. 



Wenn das Strahlen büschel von der zweiten Art ist, so bestimmt es ein Strahlenbündel 

 zweiter Art im Raum. Wir betrachten die durch Qq gehende Ebene dieses neuen Bündels. 

 Diese schneidet die Mantelfläche M in einer Geraden, die gleichzeitig dem gegebenen und 

 dem eben eingeführten Bündel angehört. Das Ebenenbüschel mit dieser Geraden als Achse 

 schneidet ersichtlich aus der Ebene E das gegebene Strahlenbüschel zweiter Art aus. 



Ist schliesslich das Strahlenbüschel von der dritten Art und geht die Polare nicht durch 

 0, so ziehen wir durch die Polare eine Perpendikularebene auf E. Weil diese Perpendikular- 

 ebene dem Bündel als Diametralebene nicht angehört, so giebt es im Bündel einen und nur 

 einen Strahl, der auf dieser Ebene senkrecht steht. Wählen wir diesen Strahl zur Achse 

 eines Ebenenbüschels, r-o wird dadurch das gegebene Strahlenbüschel dritter Art aus der 

 Ebene E ausgeschnitten. Geht die Polare durch 0, so wird das Strahlen büschel durch Dia- 

 metralebenen ausgeschnitten, die sämtlich senkrecht auf der durch g^, und die Polare bestimm- 

 ten Ebene stehen und die also ein Büschel paralleler Ebenen bilden. 



Zusammenfassend können wir sagen. Ist ein Ebenenbüschel gegeben, so bestimmt die 

 Achse des Büschels zusammen mit E ein Strahlenbündel im Raum. Jenachdem dieses Bün- 

 del von der ersten, zweiten oder dritten Art ist, wird der Durchschnitt des Ebenenbüschels 

 mit E ein Strahlen büschel erster, zweiter oder dritter Art. Wenn umgekehrt ein ebenes 

 Strahlenbüschel in E gegeben ist, so bestimmt es ein Strahlenbündel im Raum. Jenachdem 

 das gegebene Strahlenbüschel in E von der ersten, zweiten oder dritten Art ist, ist das neue 

 Bündel von der ersten, zweiten oder dritten Art. Das neue Bündel hat mit dem gegebenen 

 einen Strahl gemein. Dieser Strahl ist die Achse desjenigen Ebenenbüschels, welches das 

 gegebene Strahlen büschel aus E ausschneidet. 



Wir haben hiermit eine ein-eindeutige Beziehung zwischen den Ebenenbüscheln des Bün- 

 dels zweiter Art und den Strahlenbüscheln in E hergestellt. Besonders ist dabei hervorzu- 

 heben, dass die Büschelachse innerhalb der Mantelfläche M, auf M oder ausserhalb M liegt, je- 

 nachdem das Strahlenbüschel in E von der ersten, zweiten oder dritten Art ist. 



9. Wir können die hiermit gewonnenen Ergebnisse erheblich präzisieren. Es besteht 

 nähmlich, wenn das Strahlenbüschel von der dritten Art ist, eine einfache Beziehung zwischen 

 der Lage der Polare in E und der Büschelachse des zugehörigen Ebenenbüschels im Raum. 



Vorläufig machen wir uns folgende Sache klar. Liegt die Büschelachse a innerhalb von 

 M, so schneiden alle Ebenen des Ebenenbüschels die Ebene E., Ist die Achse a eine Erzeu- 

 gende von M, so ist die längs a die Fläche M tangierende Ebene die einzige des Büschels, 

 die E nicht schneidet. Liegt schliesslich a ausserhalb von M, so trennen die beiden durch a 

 gezogenen tangierenden Ebenen der Fläche M diejenigen Ebenen des Ebenenbüschels, die E 

 schneiden, von denjenigen, die E nicht schneiden. Dies ist unmittelbar klar, denn jede Diame- 

 tralebene, die M schneidet, schneidet ebenfalls die Ebene E und umgekehrt. 



Wir fassen das letzte Ergebnis besonders ins Auge und bezeichnen mit ti und t^ dieje- 

 nigen Erzeugenden von ilf, längs deren die tangierenden Ebenen die Fläche M berühren. 

 Weiter bezeichnen wir mit p die Polare des zugehörigen Strahlenbüschels in E. Wir wollen 



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