Zur Theorie der Lobatscheff'sJcij' sehen Geometrie. 9 



dann zeigen, dass die Erzeugenden t^ und t^ von derjenigen Diametralebene ausgeschnitten wer- 

 den, die durch die Polare p hindurchgeht. Es sind dabei t^ und t^ mit einander und imtp parallel. 



Bei dem Beweis bemerken wir zuerst, dass jede Ebene des Ebenenbüschels, die M 

 schneidet, ebenfalls E schneidet. Dabei schneidet sie aus E eine Gerade aus, die senkrecht 

 auf p steht und die also p schneidet. Daraus erhellt, dass die betreffende Ebene ebenfalls 

 die durch p gehende Diametralebene des Bündels schneidet und dies längs einem Bündelstrahl, 

 der innerhalb von M liegt. Dieser Bündelstrahl liegt also zwischen denjenigen beiden Er- 

 zeugenden, in denen die betreffende Ebene des Ebenenbüschels die Mantelfläche M schneidet. 

 Daraus erhellt, dass die tangierende Ebene gerade durch die Schnittlinie zwischen der Diame- 

 tralebene durch p und der Mantelfläche M gehen muss. Damit ist die obige Behauptung be- 

 wiesen. 



Übrigens kann folgendes hervorgehoben werden. Die Büschelachse a und die Ebene E 

 legen ein Bündel dritter Art fest. Wie in der ersten Abteilung gezeigt wurde, giebt es dann 

 unter den durch a gehenden Ebenen zwei, die die durch a gehenden, die Ebene E schneidenden 

 Ebenen von den nicht schneidenden trennen. Diese Ebenen sind die oben betrachteten tan- 

 gierenden Ebenen. 



Abbildung der Ebene auf die Grenzkugel. 



10. Die oben durchgeführten Überlegungen erhalten eine besonders einfache Form, falls 

 wir die Grenzkugeln des Bündels mit in Betracht ziehen. Wir wählen in erster Linie dieje- 

 nige Grenzkugel aus, die durch hindurchgeht und also die Ebene E \n berührt, und 

 wollen die durch die Bündelstrahlen besorgte Projektion der Ebene E auf die Grenzkugel nä- 

 her untersuchen. 



Die Mantelfläche M und die Grenzkugel schneiden sich in einem Kreis. Es bildet dabei 

 der innerhalb von M liegende Teil der Grenzkugel eine Grenzkugelkalotte K. Ersichtlich 

 haben wir dann als erstes Ergebnis den Satz. 



Die ganze Ebene E wird durch die Bündelstrahlen auf die Kalotte K ein-eindeutig pro- 

 jiziert. 



Die unendlich fernen Punkte der Ebene werden dabei auf die Kalottengrenze abgebildet. 



Die Geraden der Ebene werden ersichtlich durch die Diametralebenen auf Grenzkreise 

 projiziert. Dabei wird die ganze Gerade der Ebene auf dasjenige Stück des Grenzkreises ab- 

 gebildet, das innerhalb der Kalotte K liegt. Die unendlich fernen Punkte der Geraden wer- 

 den auf die beiden Endpunkte dieser Grenzkreissehne abgebildet. 



Die Strahlenbüschel der Ebene E werden durch Vermittelung der zugehörigenr Ebenen- 

 büschel auf Grenzkreisbüschel abgebildet. Das Zentrum dieses Grenzkreisbüschels ist der 

 Durchschnittspunkt zwischen der Büschelachse und der Grenzkugel. Insbesondere geht also 

 ein Büschel erster Art in ein Grenzkreisbüschel über, dessen Zentrum innerhalb der Kalotte 

 liegt, während das Büschel zweiter Art zu einem Büschel Anlass giebt, dessen Zentrum auf 

 dem Kalottenrand liegt. Bei dem Büschel dritter Art hegt das Zentrum des entsprechenden 

 Büschels auf der Grenzkugel ausserhalb des Kalottenrands, wobei natürlich nur derjenige Teil 

 jedes Grenzkreises in Betracht kommt, der innerhalb der Kalotte liegt. 



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