10 Severin Johansson. 



In dem dritten Fall ist weiter besonders zu beachten, wie sich die Polare des Strahlen- 

 büschels auf die Grenzkngel abbildet. Die beiden im vorigen Abschnitt eingeführten durch 

 die Achse a des zugehörigen Ebenenbüschels gehenden tangierenden Ebenen zur Mantelfläche 

 M schneiden aus der Grenzkugel zwei Grenzkreise aus, die durch das Zentrum des Grenz- 

 kreisbüschels gehen und den Kalottenrand tangieren, wobei die Berührungspunkte eben die- 

 jenigen Punkte sind, in denen die Erzeugenden t^ und ^2 die Greiizkugel durchdringen. Er- 

 sichtlich wird nun die Polare p in denjenigen Grenzkreis übergeführt, der die beiden Berüh- 

 rungspunkte verbindet. Falls wir diesen Grenzkreis mit einem nahe liegenden Ausdruck die 

 Polare des Büschelzentrums in Bezug auf den Kalottenrand nennen, so können wir zusam- 

 menfassend folgenden Satz formulieren. 



Die Sfrahlenbü.ichel der Ebene werden auf Grenzhreisbüschel abgebildet. Dabei liegt das 

 Zentrum des Gremlcreisbüschels innerhalb K, auf dem Hand von K oder ausserhalb K, jenach- 

 dem das gegebene Strahlenbüschel von der ersten, zweiten oder dritten Art ist. Insbesondere ivird 

 bei dem Büschel dritter Art die Polare des Büschels auf die Polare des Zentrums des' Grenskreis- 

 büschels in Bezug auf den Kalottenrand abgebildet. 



Falls wir die Benennung harmonische Polaren für zwei Grenzkreise benützen, von denen 

 der eine durch den Pol des anderen in Bezug auf den Kaiottenrand geht, können wir ersicht- 

 lich den letzten Teil des Satzes kurz so aussagen: 



Zwei auf einander senkrechte Geraden gehen in zwei harmonische Polaren über. 



Geht insbesondere die Polare des Strahlenbüschels durch 0, so geht das Büschel in ein 

 Büschel paralleler Grenzkreise über, die sämtlich senkrecht auf dem Abbild der Polare ste- 

 hen. Dies können wir dann auch folgendermassen ausdrücken. 



Ein rechter Winkel der Ebene, dessen Schenkel durch geht, itird auf einen rechten Win- 

 kel auf der Grenzkugel abgebildet. 



Die hiermit gewonnenen Ergebnisse gelten natürlich für jede zum gegebenen Bündel 

 gehörende Grenzkugel. Auf jeder wird nämhch durch die Mantelfläche M eine Kalotte be- 

 grenzt und die oben entwickelten Sätze lassen sich unverändert für alle diese Kalotten aus- 

 sprechen. 



11. Indem wir nunmehr zur ursprünglichen Grenzkugel zurückkehren, bezeichnen wir 

 den Radius der Kalotte, von aus längs der Grenzkugel gemessen, mit k und stellen uns 

 die Aufgabe die Länge ç des Abbilds auf der Grenzkugel einer in der Ebene E von auslau- 

 fenden Strecke von der Länge r zu berechnen. 



Wir ziehen deshalb durch den anderen Endpunkt A der Strecke r die Senkrechte auf r 

 in der Ebene E und durch eine Parallele zu dieser Senkrechten. Der von der Strecke r 

 und der Parallelen eingeschlossene Winkel ist der zum Abstand r gehörende Parallelwin- 

 kel riir). 



Auf der Grenzkugel ensteht bei der Abbildung ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hy- 

 pothenuse k, der Kathete q und dem von diesen eingeschlossenen Winkel n(r). Weil die 

 Geometrie auf der Grenzkugel euklidisch ist, wobei die Rolle der Geraden in der Euklid'schen 



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