Zur Theorie der Lolntscheffskij' sehen Geometrie. 11 



Ebene von den Grenzkreisen übernommen wird, können wir die Formeln der gewöhnlichen 

 Trigonometrie der Euklid'schen Ebene anwenden und erhalten 



(1) Q = ]c coa n (r). 



Dies ist die gewünschte Beziehung zwischen q und r. 



Aus demselben Dreieck geht hervor, dass die Länge des Abbilds der ganzen von A aus 

 gezogenen Senkrechten k sin JI(:r) ist. Wir stellen uns jetzt' die Aufgabe die Länge a des 

 Abbilds einer von A aus längs der Senkrechten abgetragenen Strecke s zu berechnen. 



Um diese Aufgabe zu lösen müssen wir vorbereitend eine Sache klar machen. Wir be- 

 trachten deshalb eine beliebige andere Grenzkugel des Bündels und bezeichnen den Radius 

 der auf dieser vorkommenden Kalotte mit k' und das Abbild von r mit q'. Dann ist genau 

 so wie oben 



(1') q' = k' cos n (r). 



Aus (1) und (!') folgt, dass 



^^' q' k'- 



Die Grenzkreisbögen q und q' sind aber Stücke zweier konzentrischer Grenzkreise, die 

 zwischen denselben beiden Strahlen eines ebenen Büschels zweiter Art liegen. Falls wir 

 derartige Bögen entsprechende Bögen nennen, so kann die Gleichung (2) durch folgenden Satz 

 ausgedrückt werden. 



Entsprechende Bögen zweier konzentrischer Grenzkreise sind proportional. 



Nunmehr betrachten wir diejenige Grenzkugel des Bündels, die durch A geht und die 

 also die oben eingeführte durch A gehende Senkrechte in A berührt. Die Projektion der 

 Senkrechten auf dieser Grenzkugel ist k und die Projektion der Strecke s nach (1) gleich 

 k cos Jlis). Es bilden folglich k und k sin n{r), k coa /l(s) und ß entsprechende Bögen zweier 

 konzentrischer Grenzkreise, woraus erhellt, dass 



^) 



k sin n (r) 



k cos n (s) a 



oder 



(3) ff = ^ sin //()■) cos y/(s). 



Die Gleichung (3) löst die gestellte Aufgabe. 



12. Wir führen nunmehr ein Koordinatensystem in der Ebene ein, indem wir als Koor- 

 dinatenachsen zwei beliebige auf einander senkrechte Geraden durch wählen. Als die y-Koor- 

 dinate eines Punkts bezeichnen wir seinen Abstand von der a;-Achse, während die ic-Koordi- 

 nate den Abstand von nach dem Fusspunkt der von dem Punkt auf die x-Achse gezogenen 

 Senkrechten {y) bedeutet. Es bilden also x, y und der radius vector des Punkts ein recht- 

 winkliges Dreieck. 



Auf der Grenzkugel führen wir als Koordinatenachsen die Abbilder der Achsen in der 

 Ebene ein und als Koordinaten è und fj eines Punkts die Abbilder der Koordinaten des ent- 



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