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sprechenden Punkts der Ebene. Dabei stellt dann »j den längs einem Grenzkreisbogen gemes- 

 senen Abstand des Punkts von der $-Achse dar und 5 den Abstand des Fusspunkts dieser 

 Abstandlinie auf der ?-Achse vom Koordinatenanfangspunkt. 

 Nach (1) und (3) ist unmittelbar für alle Punkte 



\?\ = 1cG0sn(\x\), 



1 1? I = Ä; sin // (I a; I) cos n {\y |). 



Um hieraus ganz allgemeingültige Formeln zwischen {x, y) und (?, ?/) zu erhalten, müs- 

 sen wir festlegen, dass für einen negativen Argumentenwert 



n{-x) = 3i~-n{x). 



Dann stellen allgemein die Formeln 



'i = 'k cos /7 te). 



(4) " 



' 1) =lc^vci n{x) cos n{y) 



die Übergangsformeln dar, die der Abbildung der Ebene auf die Grenzkugel entsprechen. 



Übrigens kann bemerkt werden, dass auf der Grenzkugel, wo die Geometrie euklidisch 

 ist, den Koordinaten ? und «/ genau dieselben Eigenschaften zukommen wie den gewöhnlichen 

 Cartesischen Koordinaten der Euklid'schen Ebene. S und »? sind also die Abstände des Punkts 

 (?) "?) von den Koordinatenachsen, gemessen längs der von dem Punkt auf die Achsen gezo- 

 genen senkrechten Grenzkreise. 



Die Gleichung der Geraden. Bestimmung des Parallelwinkels. 



13. Wir sind nunmehr im Stande die Gleichung der Geraden in den Koordinaten x und 

 y aufzustellen. 



Es sei also g eine beliebige Gerade in der Ebene, die nicht durch geht. Wir bezeich- 

 nen den Abstand der Geraden von mit p und mit w den von p und der a;- Achse einge- 

 schlossenen Winkel. Auf der Grenzkugel erhalten wir als Bild von g einen Grenzkreis y, des- 

 sen Abstand, längs der Grenzkugel gemessen, vom Koordinatenanfangspunkt gleich itcos H {p) 

 ist; weiter bildet die Abstandlinie mit der |- Achse den Winkel m. 



Die Gleichung des Grenzkreises ;' in den Koordinaten ? und ij ist also 



? cos w + ;;? sin w = fe cos /7 (p). 



Tragen wir in diese Gleichung die Werte von ? und j/ aus den Relationen (4) ein, so 

 wird die Gleichung der Geraden g in den Koordinaten x und y nach Division mit h ■ 



(5) cos n (x) cos 01 -|- sin JI (x) cos // (y) sin « = cos // (p). 



Diese Gleichung behält ihre Gültigkeit noch wenn die Gerade g durch geht. Dann ist 

 nämhch p gleich Null. Aus (1) folgt aber dann, dass cos H {p) = ist, woraus erhellt, dass 

 die Gleichung der duixh gehenden Geraden die Form 



cos /7 (x) cos M -h sin /7 (x) cos 77 (y) sin w = U 



Tom XLVI. 



