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Kathete Ä;cos/?(p) und dem Winkel -^ — U{p). Also ist 



cos 



Zur Theorie der Lobatscheff'skij' sehen Geometrie. 13 



hat. M bedeutet dabei den Winkel, den die in auf die Gerade gezogene Senkrechte mit 

 der X-Achse bildet. 



Die Gleichung (5) stellt also die allgemeine Form der Gleichung der Geraden in der Lo- 

 batscheffskij' scheu Ebene dar. 



14. Die Gleichung (5) erhält eine besonders einfache Form, wenn die Gerade g mit der 

 a;-Achse parallel ist. Dann ist nämlich w = /Z (i?) und es wird nach leichter Umformung 



(6) cos n {y) = cot // (J9) • tg ^ /7 {x). 



Mit Hilfe dieser Gleichung sind wir jetzt im Stande, den analytischen Ausdruck für den Pa- 

 rallelwinkel n (x) abzuleiten. 



Wir nehmen deshalb an, dass die Gerade (6) die positive «/-Achse schneidet und bezeich- 

 nen die Ordinate des Schnittpunkts mit y^. Es bilden nun die gegebene Gerade, die Senk- 

 rechte p und die Ordinate y o ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse ?/o, der Kathete 



p und dem von diesen eingeschlossenen Winkel -^—^Hp)- Die Projektion dieses Dreiecksauf 



die Grenzkugel ist ein ebenfalls rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse k cos II (yo), der 



St 



kel -^ — ü{p). Also ist 



[2 ^^>) k cos /1(1,,) 



oder 



(7) cos //(2/0) = cot //(p). 

 Mit Hilfe von (7) nimmt die Gleichung (6) die Form an 

 (6') cos /7 (y) = cos // O/o) • tg I /7 (a;). 



Die Gleichung (6') stellt ersichtlich eine ganz allgemeine Eigenschaft zweier paralleler 

 Geraden dar. Diese Eigenschaft benützen wir, indem wir uns vorläufig auf positive j: -Werte 

 beschränken. Wir nehmen also zwei beliebige positive Werte x und x' und bezeichnen die 

 Ordinaten in x und x-\-x' bezvv. mit y und y' . Dann ist nicht nur 



cos /7 {y') = cos II O/o) • tg 2 ^^ (^ + x') 

 sondern auch 



cos //(?/') = cos /7 (î/) • tg ~ 77 (a;'). 



Aus (6') und den beiden letzten Gleichungen folgt, dass für beliebige positive Werte x und x' 



(8) tg-^77(a;-fa;') = tgi77(a;).tg^77(a;'). 



Nun ist tgi5-77(x) eine stetige Funktion und wir können aus der Gleichung (8) schiies- 



sen, dass für positive Werte von x 



• 1 -" 



(9) tg2 77(x) = e % 



N:o 7. 



