14 Severin Johansson. 



wo a eine noch zu bestimmende Konstante ist. Vorläufig können wir sagen, dass diese 

 Konstante positiv ist, denn für positive Werte von x ist ja tg 2^(^)< 1- Nacii Nr. 12 ist 

 n{—x) = n — n{x). Daraus folgt, dass die zuerst nur für positive Werte von x erklärte Be- 

 ziehung (9) ebenfalls für negative Werte gilt. 



Wir wollen nun die Bestimmung von a vornehmen und zeigen, dass a der früher einge- 

 führten Konstante k gleich ist. 



Falls wir dabei wieder zur Geraden (6) zurückkehren, so legen wir durch den die 

 «/-Achse berührenden Grenzkreis des von der Geraden und der a;-Achse definierten Büschels 

 zweiter Art. Wir bezeichnen den zwischen den beiden Geraden liegenden Teil des Grenz- 

 kreises mit s. Weil der Grenzkreis eine konvexe Kurve ist, so folgt, dass 



(10) y(,>s>p 



ist. 



Die erste dieser Ungleichungen können wir, weil s = fe cos // (y,,) ist, in die Form schreiben 



2/0 > ^ cos n (î/o) 

 oder also nach (9) 



lh_ ^ e -e _ 



7. -^ 



e +e 



Da dies für jeden Wert von po gelten soll, schliessen wir, indem wir beiderseits mit ijo divi- 

 dieren und dann ?/o gegen Null abnehmen lassen, dass fc <: a sein muss. 



Da weiter auf Grund von (7) s = fccot//(p), so ist also nach der zweiten Ungleichung 



Je cot ri(p)::>P 



oder auf Grund von (9) 



p _p 



e"-e " P 



Hieraus folgt wieder, weil diese Ungleichung für jeden Wert von p gelten soll, dass a<l ist. 

 Wir haben also gefunden, dass a = k sein muss, und haben folglich für den Parallelwin- 

 kel die Beziehung 



(11) tgi/V(a;) = e"*- 



Für sin/7(a;), cos Fl (x) und igll{x) erhalten wir daraus die Formeln 



sm n {x) 



(12) cos nix) 



tg/7(a;) = - 



e'-e " ^si"S 



Tom. XLVl. 



