Zur Theorie der Lohatscheff'tikij'schen Geometrie. 15 



Weiter erhalten wir folgende Additionsteoreme, die leicht abgeleitet werden und schon 



in (8) enthalten sind 



sin fl (x) sin JJ (ij) 



sin // (x + y) = 

 (13) cos /7 (a; + 2/) = 



tg ri {x + y) = 



1 + cos 11 {x) cos 11 (?/) 



cos // {x) + cos n (y) 

 1 + cos /? (x) cos // iy) ' 



sin n (x) sin /7 (y) 



cos /1 (x) + cos // iy) 



15. Es kann noch von Interesse sein zu sehen, dass die Gleichung (6') eine bemerkens- 

 werte Eigenschaft konzentrischer Grenzkreise aussagt. 



Wir ziehen deshalb durch und den Punkt x die Grenzkreise des von der Geraden und 

 der X-Achse bestimmten Büschels und nennen die Längen dieser Grenzkreise zwischen den 

 Geraden bezw. l,, und /. Dann ist nach (1) 



io = ^ cos ri (?/o) 



l = h cos /1 (y) 



und also nach (6') . ■ 



(14) l=^k-tgl/l(x) 

 oder schhesslich nach (11) 



(1^') 1 = 1.. e-\ 



Die Gleichung (14') drückt das Gesetz aus, das entsprechende Grenzkreisbögen im sel- 

 ben Büschel vereinigt. 



Die Gleichungen der Zykeln. 



16. Falls wir das vom radius vector r und den Koordinaten x und y gebildete Dreieck 

 auf die Grenzkugel projizieren, so erhalten wir ein ebenfalls rechtwinkliges Dreieck mit der 

 Hypothenuse l cos 11 (r) und den Katheten Ic cos l]{x) und k sin /1 (x) cos 11 (y). Nach dem Py- 

 thagoräischen Lehrsatz ist also 



cos2 n (r) = cos2 /1 (x) + sin« 11 (x) cos« II (y), 

 oder nach leichter Umformung 



(15) sin n (r) = sin /7 (x) sin /7 (ij). 



Die Glechung (15) entspricht in der Lobatscheffskij' sehen Ebene dem Pythagoräischen 

 Lehrsatz. Bei festgehaltenem r stellt sie die Gleichung eines Kreises dar, dessen Mittelpunkt in 

 liegt und dessen Radius gleich r ist. 



17. Wir betrachten nunmehr alle diejenigen Strahlenbüschel erster Art der Ebene, deren 

 Zentrum auf der positiven x-Achse liegt, weiter das Büschel zweiter Art, das von der po- 

 sitiven X-Achse festgelegt wird, und schliesslich alle diejenigen Büschel dritter Art, deren 

 Polare senkrecht auf der positiven Teil der x-Achse steht oder mit der (/-Achse zusammen- 

 fällt. Bei der Projektion auf die Grenzkugel entstehen aus diesen Büscheln alle diejenigen 

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