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Severin Johajjsson. 



Grenzkreisbüschel, deren Zentrum auf der positiven Ï-Achse liegt. Diese bilden eine stetige 

 Schaar von Büscheln. In diesem Sinn ist dann auch die Bü^^chelschaar der Ebene stetig. Diese 

 Stetigkeit findet ihren einfachsten Ausdruck in der Tatsache, dass die Büschel der Ebene 

 von einer stetigen Schaar von Ebenenbüscheln ausgeschnitten werden, indem nämhch die 

 Büschelachse stetig alle in der einen Hälfte der von der x-Achse bestimmten Diametral- 

 ebene liegenden Strahlen des Bündels durchwandert 



Wir betrachten in jedem Fall die durch gehende ortogonale Traj'ektorie des Strahlen- 

 büschels. Wir bekommen dadurch eine stetige Schaar von Zykeln. Diese Zykeln sind da- 

 bei anfänglich Kreise, wenn das Büschel von der ersten Art ist, sie dehnen sich aber allmäh- 

 hch aus, wenn das Büschelzentrum sich enfernt, um in den Grenzkreis überzugehen, wenn das 

 Büschel zweiter Art vorliegt. Dann folgen, wenn das Büschel von der dritten Art ist, aeqvi- 

 distante Kurven zur Polare, die sich einerseits dem Grenzkreis als Grenze nähern, wenn 

 die Polare sich von entfernt, während sie andererseits immer flacher werden und schliess- 

 lich in die y-Achse als Grenze übergehen, wenn die Polare sich der y-Achse nähert. Wir 

 zählen die ^/-Achse als Zykel mit. 



Unsere nächste Aufgabe wird die gemeinsame Gleichung aller dieser ZyJceln aufzustellen. 



Was zuerst den Kreis betrifft, so hat er, wenn der Mittelpunkt auf der x-Achse den Ab- 

 stand r von dem Anfangspunkt hat, nach (15) die Gleichung 



oder 

 (16) 



sin /7 (r) = sin JJ {x — r) sin /7 (y) 

 sin /7 (x) sin /7 («/) = 1 — cos 77 (r) cos /7 (x). 



Liegt der Orenzkreis vor, so ziehen wir eine beliebige Parallele zur a;-Achse und bezeich- 

 nen die Koordinaten des Schnittpunkts zwischen der Parallelen und dem Grenzkreis mit x 

 und y. Dann ist nach (6) 



cos /7 iy) = cot // (p) tg 2 /7 {x), 



wo j5 den Abstand der Parallelen von bedeutet. Hier ist 'dher p = y und wir bekommen 

 folglich zwischen z und y die Gleichung 



sin/7(j/) = tg^/7(x). 

 Diese kann geschrieben werden 



sin n (y) = e 

 oder auch in der mit (16) analogen Form 

 (16') sin 77 {x) sin // (y) = 1 - cos /7 {x). 



Haben wir schliesslich die aeqvidistante Kurve, 

 so sei in nebenstehender Figur P ein Punkt die- 



Fig. 1. 



ser Kurve. Weiter sei L die Polare und p der Abstand der Polare von 0. 



Tom, XLVI. 



