Zur Theorie der LohatscheffsTcif sehen Geometrie. 17 



Weil die Diagonale PA des dreirechtwinkligen Vierecks Hypothenuse zweier rechtwink- 

 liger Dreiecke ist, so ist nach (15) 



sin /7 (p) sin JI (a) = sin n{y) sin n{p — x). 



Falls wir nun das Viereck auf die in A die Ebene berührende Grenzkugel projizieren, so muss 

 es in ein Grenzkreisrechteck übergehen, wo also die Abbilder der gegenüberliegenden Seiten 

 2) und p — X gleich sind oder 



cos n {p) sin n (ff) = cos n{p — x). 



Wenn o aus den beiden letzten Gleichungen eliminiert wird, so ist nach leichter Rechnung 



(16") sin n {x) sin n{y) = l ^-r-r cos n(x). 



^ ' \ / \j/ cos/7(p) 



Wie man unmittelbar sieht geht die Gleichung (16') aus (16) hervor, wenn wir r = oo 

 setzen. Es sind also die Grenzkreise als Kreise mit unendUch grossem Radius aufzufassen. 

 Beachten wir aber weiter, dass nach (12) 



ß(Ä.^+i,) = etg 2+^j=-^=,-;^^^(^), 



2 tg f. 



cos 



Z " ~ \Z Kl) 



ki 



so sehen wir, dass auch die Gleichung (16") aus (16) hervorgeht; wir brauchen nur 

 r = k- w-\-p zu setzen. Also ist dann auch eine aeqvidistante Kurve als Kreis aufzufassen, 



dessen Radius gleich ^•-p'+p ist. 



Falls wir noch in (16") mit cos Il{p) multiplizieren und hinterher p gleich Null setzen, 

 so wird 

 (16"') cos n{x) = 0, 



welche Gleichung die y-Achse darstellt. Es ist somit auch die Gerade in diesem Sinn ein 

 Kreis, dessen Radius k • -^ ist. 



Li 



Die Gleichung (16) ist also die gemeinsame Gleichung aller Zykeln, die für verschiedene 

 Werte des Parameters r die verschiedenen Arten von Zykeln darstellt. 



18. Die Gleichungen (16), (16') und (16") können in der gemeinsamen Form 



(17) k sin /7 (x) sin /7 (y) = fc - §„ cos /7 (x) 



geschrieben werden, wo lo bezw. 



k cos 77 (r), k, =— -^ 



' cos 77 (^) 



bedeutet. 



Die Grösse ?o hat dabei eine einfache geometrische Bedeutung. Sie ist einfach die Ab- 

 zisse des auf der |-Achse liegenden Zentrums desjenigen Grenzkreisbüschels, welches das 

 Abbild desjenigen Strahlenbüschels ist, dessen ortogonale Trajektorie die Kurve bildet. 



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