18 * Severin Johansson. 



Bei dem Büschel erster Art ist die Sache unmittelbar einleuchtend. Das Büschelzen- 

 trum in der Ebene liegt nämlich auf der x-Achse in dem Kreiszentrum, d. h. in dem Abstand 

 r von 0. Also ist Tt cos /7 (r) der entsprechende Abstand auf der Grenzkugel. 



Bei dem Büschel zweiter Art liegt ja das entsprechende Büschelzentrum auf der Grenz- 

 kugel auf dem Kalottenrand und folglich im dem Punkt ä; der ?-Achse. 



Bei dem Büschel dritter Art liegt das Büschelzentrum auf der Grenzkugel ausserhalb der 

 Kalotte und in dem Pol des Abbilds der Polare. Nun schneidet die Polare, die- senkrecht auf 

 der Ä-Achse steht, diese Achse im Punkt mit der Abszisse p, vs^oraus hervorgeht, dass ihr 

 Abbild die J- Achse im Punkt k coa II (p) der ?■ Achse schneidet. Daraus folgt dann, dass 



So ■ 



coa II (p) Je cos ri(p) 



der Pol dieses Abbilds in Bezug auf den Kalottenrand ist und dass also ?o das Büschelzen- 

 trum auf der Grenzkugel festlegt. 



Obwohl wir später untersuchen, wie sich die Zykeln auf die Grenzkugel durch unsere 

 Abbildung übertragen, können wir hier schon eine vorläufige Bemerkung machen. Falls wir 

 nämlich die Gleichung (17) in den Koordinaten | und ^ umrechnen, so ist zuer.st nach (15) 



h sin II (x) sin n{y)=^'k sin II (r) 



wo r den radius vector des Punkts {x, y) bedeutet. Nun ist aber 



Ä; sin /7 (r) = /fc^ - Jt^cos" Z7(r) = ^jfc^-p^, 

 wo Q den radius vector des entsprechenden Punkts (|, ij) auf der Grenzkugel darstellt. Da nun 



so wird 



Ä: sin iZ (a;) sin /i (2/) = /A;2 - ?2 _ ,2. 

 Da weiter auf der rechten Seite in (17) nach (4) 



cos/7(a;)=iT-' 

 so geht (17) in folgende Gleichung über 



oder falls wir noch in die zweite Potenz erheben. 



(18) ^2_|2_^2 = . 



Jk2 



Dies ist die Gleichung der Projektion des Zykels (17) auf der Grenzkugel. Die Projektion 

 ist also eine Kurve zweiter Ordnung in den Koordinaten ? und tj; §o ist der Parameter der 

 Kurve, der zwischen und + oo frei veränderlich ist. 



Tom. XLVI. 



