Zur Iheorie der Lobatscheffskij^ sehen Geometrie. 19 



Falls wir die Benennungen aus der Euklid'schen Ebene auf die Grenzkugel übertragen, 



so können wir sagen, dass (18) eine Ellipse ist. Bei veränderlichen ?o erhalten wir eine 



Schaar von Ellipsen, die sämtlich durch den Anfangspunkt gehen. 

 Weil 



j2 + ^2 = i2 



die Gleichung des Kalottenrands ist, so geht aus (18) unmittelbar hervor, dass die Kurven 

 niemals aus der Kalotte austreten; die rechte Seite in (18) ist nämlich niemals negativ. 



Ist ?o < ^ d. h. das Büschel von der ersten Art, so kann ?„ 5 niemals gleich k^ sein 

 und die Elhpse kann somit in keinem Punkt den Kalottenrand erreichen. 



Ist ?o = ^ oder also das Büschel von der zweiten Art, so berührt die Kurve (18) den 

 Kalottenrand im Punkt ^ = k. 



Wenn schliesslich S„ > ^ ist oder also das Büschel von der dritten Art, so ist zu be- 

 achten, dass die Polare von |„ in Bezug auf den Kalottenrand, 



den Kalottenrand schneidet. Aus (18) geht dann hervor, dass die Kurve grade durch die 

 beiden Schnittpunkte geht, wo sie dann natürlich den Kalottenrand berührt. 



Die hiermit betrachteten drei Arten von Kurven des Kurvenbüscheis (18) sind also die 

 Abbilder der drei Arten von Zykeln der Ebene. Falls lo sich von bis +oo verändert, so 

 dehnen sich zuerst, so lange ?o < ^ ist, die Ellipsen aus, indem jede Ellipse den zugehörigen 

 Punkt 5o umschliesst. Als S„ den Kalottenrand überschreitet, geht die Ellipse durch ?o und 

 berührt den Kalottenrand. Wenn ?o weiter fortrückt, so zieht sich die Kurve gewissermas- 

 sen zurück, indem sie durch die Schnittpunkte der Polare mit dem Kalottenrand geht und 

 daselbst den Rand berührt. Für ?o = oo gßht sie schliesslich in den doppelten längs der 

 ly-Achse fallenden Diameter des Kalottenrands über. 



Die hiermit beendeten Untersuchungen können wir übrigens direkt aus (18) ablesen, 

 falls wir nämlich beachten, dass die Kurve (18) in derjenigen Kurvenschaar zweiter Ordnung 

 eingeht, die von dem Kalottenrand 



|2 + ^2 = Z;2 



und der doppelt gezählten Polare 



des Punkts ?o festgelegt wird. Es ist nämhch die Kurve (18) diejenige Kurve dieser Schaar, 

 die durch den Anfangspunkt hindurchgeht. 



Die Sphären und ihre Trigonometrie. 



19. Die in der vorigen Abteilung betrachtete Schaar von Strahlenbüscheln der Ebene 

 ist ein Diametralschnitt einer Schaar von räumlichen Strahlenbündeln, nämlich von allen den- 

 jenigen Bündeln, die durch die positive a;-Achse festgelegt werden. Die Zykeln sind dabei die 

 Spurlinien in der Diametralebene von der Schaar der durch gehenden ortogonalen Trajek- 

 torienflächen dieser räumlichen Bündel. 



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