20 



Severin Johansson. 



Diese Sphären bilden eine stetige Schaar von Flächen, die allmählich in immer grössere 

 Kugeln sich ausdehnen um durch eine Grenzkugel in die aeqvidistanten Flächen überzugehen. 

 Diese werden immer flacher und gehen schliesslich in die durch senkrecht auf der a;-Achse 

 stehende Ebene über. 



Da die hiermit entstandene räumliche Konfiguration dadurch entsteht, dass die in der 

 vorigen Abteilung betrachtete ebene Konfiguration um die ic-Achse sich herumdreht, so hän- 

 gen die Sphären von demselben Parameter r ab. Diesen Parameter nennen wir den Radius 

 der Sphäre. 



Die Diametralebenen des zugehörigen Bündels nennen vpir ebenfalls Diametralebenen der 

 Sphäre. Die Diametralebenen schneiden aus der Sphäre Zykeln aus und zwar bei der Kugel 

 gewöhnliche Kreise, bei der Grenzkugel Grenzkreise und bei der aeqvidistanten Fläche aeqvi- 

 distante Kurven zu den Durchschnitten der Diametralebene mit der Polarebene. Schliesshch 

 ist noch, wenn die Sphäre eine Ebene ist, der Durchschnitt mit der Diametralebene natüriich 

 eine Gerade. 



Wir werden im Folgenden die Trigonometrie der von Zykeln gebildeten Dreiecke auf ei- 

 ner Sphäre näher entwickeln. 



20. Wir fangen mit der Ehene an. 



Es sei also in der Ebene ein geradliniges Dreieck mit den Winkeln A, B, C und den 

 gegenüberliegenden Seiten a, b, c gegeben. Wir ziehen von C aus die Senkrechte CD auf AB 

 und erhalten dadurch zwei rechtwinklige Dreiecke ACD und BCD. Wir bezeichnen CD mit 

 h und die Projektionen von a und b auf c mit « und ß. 



Falls wir nun das Dreieck ACD auf die in A berührende Grenzkugel projizieren, so er- 

 halten wir auf der Grenzkugel ein ebenfalls rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse 

 k cos Il{b), der Kathete fc sin //(/<) cos /7 (/j) und dem gegenüberliegenden Winkel A oder 



st 



n—A jenachdem A kleiner oder grösser als „ ist 



.sin A = 



Also ist 

 sin n (/3) cos n (h) 



Nach (15) ist aber 



cos II {b) 



sin n (b) = sin B (h) sin FI (ß). 



Falls wir aus diesen Gleichungen ß eliminieren, so erhalten wir 



sin A = cot n{h)- ig n{b). 



In genau gleicher Weise ist natürlich 



sinjB = cotZf(/i)-tg//(a) 

 und also 



(19) sin 4: sin -ß^ 



Nach (12) ist aber 



1 



1 



1 



tgn(a)- tg n{b) 



= t sm — 

 tg II (a) kt 



Tom. XLVI. 



