Zur Theorie aer Lobaischeffskij' sehen Geometrie. 21 



und wir erhalten somit schliesslicli die allgemeine Formel, den s. g. Sinussatz: 



(20) sm A : sm B : sm C = sm y : sm p : sm t^ • 



Aus dieser Formel lassen sich alle anderen Formeln der Trigonometrie ableiten. Man 

 sieht das unmittelbar ein, wenn man bedenkt, dass die Gleichung (20) mit dem Öinussats der 

 sphärischen Trigonometrie des Euklid'schen Raums formal zusammenfällt; sie unterscheidet 

 sich nur dadurch, das der Kugelradius mit ki ersetzt ist. 



21. Wir gehen jetzt zu der aeqvidistanten Fläche über und nehmen also auf ihr ein 

 von aeqvidistanten Kurven gebildetes Dreieck an mit den Winkeln A, B, C und den Seiten 

 a, b, c. 



Wenn wir dieses Dreieck aut die Polarebene projizieren, so erhalten wir ein gradliniges 

 Dreieck, das genau dieselben Winkel A, B und C aufweist. Seine Seiten seien a', h' und c'. 



Dann ist nach (20) 



a' b' c' 



(21) sin .4. : sin 5 : sin C = sin y. : sin p : sin r-. • 



Nun lassen sich aber die Seiten «', b' und c' einfach durch bezw. a, b und c ausdrücken. 

 Wir nehmen um dies zu zeigen auf einer aeqvidistanten Kurve zwei Punkte B und T und 

 projizieren sie als R' und T' auf die Polare. Wir bezeichnen die Sehne RT mit a und ihre 

 Projektion R'T' mit a'. Weiter sei S der Mittpunkt der Sehne ET und »S" die Projektion 

 von S. Es ist dann S' der Mittpunkt von R'T'. SS' sei mit i>' bezeichnet. 



Wenn wir nun das Viereck STT'S' auf die in S' berührende Grenzkugel projizieren, so 

 geht es in ein Rechteck der Grenzkugel über, dessen gegenüberliegende Seiten also gleich lang 

 sind. Folglich ist 



cos n(~\ = Hin Uip') cos n(^y 



Lassen wir R und T sich einander unbegrenzt nähern, so entsteht hieraus durch Grenzüber- 

 gang die Formel 



da' = sin // {p) da 



wo da und da' bezw. die Linienelemente der Kurve und der Polare und p den Abstand der 

 Kurve von der Polare bedeuten. Hieraus folgt dann die Formel 



(22) ff' = (T . sin i/ (p) 



zwischen dem Bogen a und seiner Projektion a' auf der Polare. 



Kehren wir nunmehr zur Formel (21) zurück, so ist nach (22) 



a' — a sin 11 {p), b' = b sin 11 (p), c' = c sin 11 (p), 

 und infolgedessen nach (21) 



,„„, . . • D • /T . a sin 11 (p) . b sin n(p} . c sin 11 (p) 



(23) sm A-.smB: sin C = sm r^— — : sm t^— '■ sm , . ^^' • 



Kl kl kl 



N:o 7. 



