22 Severin Johansson. 



Dies ist die Grundformel der Trigonometrie auf der aeqvidistanten Fläciie. 



Die Gleicliung (23) enttiält die Formel (20) als Spezialfall für p = 0. Sie kann allgemein 

 aufgefasst werden als die Grundformel der Trigonometrie des Bündels dritter Art, indem sie 

 nämlich falls p von bis oo variiert die Grundformel der Trigonometrie sämtlicher ortogo- 

 gonalen Trajektorienflächen darstellt. 



22. Wir gehen jetzt zur Kugel über und bezeichnen wieder die Winkel des Dreiecks 

 mit A, B und C und die Längen der Seiten mit a, b und c. 



Wir bezeichnen mit «, ß und y die zu a, b und c gehörenden Zentriwinkel und wollen 

 vorläufig eine beziehung zwischen A, B, C, «, ß und y ableiten. Deshalb führen wir dieselbe 

 Konstruktion wie in der Ebene aus und bekommen das rechtwinkhge Dreieck ACD. Wir 

 bezeichnen den zu CD hörenden Zentriwinkel mit x. Wird das Zentrum der Kugel mit 

 bezeichnet, so legen wir durch C eine Ebene senkrecht auf OA und bekommen das rechtwink- 

 lige Dreieck A'CD' als Durchschnitt dieser Ebene mit der Ecke OACD. 



In dem Dreieck A'CD' ist der Winkel A' = A. Bezeichnen wir A'C mit b' und CD' mit 



h', so ist nach Nr. 20 



sin A = Goi 11 {h')- ig n{b'). 



Aus dem ebenfalls rechtwinkhgen Dreieck OA'C erhalten wir 



sin /Ï = cot /7 (&') • tg II (r), 



wo r der Radius der Kugel ist, und aus dem rechtwinkligen Dreieck OD'C 



sin X = cot n{h') -ig II {r). 



Aus diesen drei Gleichungen folgt, dass 



sm A = sinx ■ 



sin ß 

 In genau gleicher Weise bekommen wir 



sin i} = sm X • 



sm« 



oder schliesshch die Grundformel 



(24) sin A : sin jB : sin C = sin a-.smß: sin y. 



Die nächste Aufgabe ist nun, die Winkel «, ß und y durch die Längen a, b und c auszu- 

 drücken. Um dies leisten zu können kehren wir nach dßr Gleichung (6) zurück um zuerst 

 die Beziehung zwischen einem Bogen auf einem Grenzkreis und der zugehörigen Sehne abzu- 

 leiten. Wir legen daselbst Grenzkreise mit der x-Achse als Achse durch und den Punkt x 

 und bezeichnen ihre Bögen zwischen der ic-Achse und der Gerade g mit lg und l. Dann ist 

 nach (14) 



l = latg-^n{x). 



Tom. XLVI. 



