Zur Theorie der Lobatscheffskij' sehen Geometrie. 23 



Andererseits ist nach (1) 



l = k cos 77 (y). 

 Da aber nach (6) 



k cos 77 (y) = Ä; cot 77 {p} 'tg^ 11 (x), 



so muss 



(25) l„ = k cot n{p) 



sein. 



Dies ist die Beziehung zwischen dem halben GrenzJireisbogen Z,, und der halben Sehne p. 



Liegt nun ein beliebiger Kreis mit dem Radius r vor, so können wir ihn auf der Grenz- 

 kugel niedergelegt denken, so dass er daselbst einen Kreis mit dem Mittelpunkt ausmacht. 

 Seine Ebene steht dann senkrecht auf der Achse g^ durch 0. Bezeichnen wir den Radius auf 

 der Grenzkugel mit ff, so ist nach (25) 



ff = fc cot 77 (r). 



Ziehen wir nunmehr zwei Radien, die den Winkel « einschliessen, so begrenzen sie den 

 Bogen a auf der Peripherie. Die entsprechenden Radien auf der Grenzkugel bilden ebenfalls 

 mit einander den Winkel « und es ist also 



a = « • ff 



oder schliesslich nach der vorigen Gleichung 



(26) a = « . A; cot 77 (r). 



Insbesondere ist der Umfang des Kreises mit dem Radius r gleich 2 sr k col 11 (r). 



Die Formel (26) giebt uns die gewünschte Beziehung zwischen dem Zentriwinkel und 

 dem Bogen. Wenn wir nunmehr mit Hilfe von (26) die Ausdrücke für «, ß und y durch 

 bezw. a, b und e in (24) eintragen, so lautet die Grundformel auf der Kugel 



(27) sin ^. • sin 5: sin C = sin r^-^'W : sin , _, „ , , : sin 



k cot n{r) ■ k cot 77 (r) • k cot 77 (r) 

 23. Falls wir noch die Grenzkugel berücksichtigen, wo natürlich 

 (28) sin A ; sin .ß: sin C=a : 6 : c, 



so haben wir die im Anfang dieser Abteilung gestellte Aufgabe erledigt. Wir haben näm- 

 lich für alle Arten von Sphären die zugehörige Trigonometrie entwickelt. 



Es ist nun wieder besonders von Interesse zu sehen, wie die gefundenen Formeln (20), 

 (23), (27) und (28) alle von derselben Formel, nämlich von der Formel (27) für verschiedene 



Werte von r geliefert werden. 



Weil nämlich nach (12) 



ist, so erhalten wir für r = k- -^ 



N:o 



f 



k cot 77 (r) = ki sin y. 



k cot II \k' -^\ = ki. 



"("■'i) 



