24 Severin Johansson. 



und für r = Jc----\-p 



k cot n [k • ^r- + p ] = M cos y-. = -. =-^-r 



\ 2 ^ J Jet sin/7(p) 



Also gehen die Formeln (20) und (23) aus (27) hervor, falls wir r gleich bezw. Jc~ und 



Ci 



h—+p setzen. Setzen wir schliesslich »- = 00, so geht die Formel (28) aus (27) hervor. Die 



Formel (27) ist folglich die gemeinsame Grundformel sämtlicher Sphären und wir können in- 

 folgedessen zusammenfassend den Satz aussprechen: 



Auf allen Sphären gilt die Formel (27), wo r den Radius der Sphäre bedeutet. Für die 



Kugel hat r einen reellen Wert, für die Ebene ist r = k--^, für die aeqvidistante Fläche r=^ 



Ci 



Tc- — -\- p und für die Qrenzkugel r = 00 zu setzen. 



Die Cayley'sche Maassbestimmung auf der Grenzkugel. 



24. Wir kehren nunmehr zur anfänglichen Abbildung der Lobatscheffskij ' sehen Ebene 

 auf die Grenzkugel zurück und wollen die bei dieser Abbildung auftretenden Maassverhält- 

 nisse zwischen der Ebene und der Grenzkugel näher in Betracht ziehen. Wir haben gefunden, 

 dass eine Strecke der Ebene auf eine Grenzkreisstrecke abgebildet wird und dass also ein 

 Winkel der Ebene auf einen von zwei Grenzkreisen eingeschlossenen Winkel übertragen wird. 

 Wir werden nun zeigen, dass die Maasszahlen der Strecke und des Winkels in der Ebene einfach 

 mit denjenigen Maasszahlen zusammenfallen, die ihren Abbildern auf der Grenzkugel zukommen, 

 falls wir auf der Qrenzkugel eine Ca^yleijsehe Maassbestimmung mit dem Kalottenrand als abso- 

 lutem Gebilde durchführen. 



Wir fangen mit der Strecke an. 



In nebenstehender Figur (Fig. 2). sehen wir auf der Grenzku- 

 gel das Abbild CA einer von auslaufenden Strecke OA von der 

 Länge r in der Ebene. Die Punkte M und N sind diejenigen 

 Punkte, wo der' von und A bestimmte Grenzkreis, der das Ab- 

 bild der von und A bestimmten Geraden ist, den Kalottenrand 

 schneidet. M und N sind also die Abbilder der unendlich fernen 

 Fig. 2. Punkte der genannten Geraden. 



Nach (1) ist 



woraus folgt, dass 



oder 



OA = fccosZ7(r) 

 , „ 1 „ , ^ k — OA 



i. 9 ^ n/ \ -A^M 



Tora. XLIV. 



