26 Severin Johansson. 



ist. Also ist nach den beiden letzten Gleichungen 



cos-/i(r) = 



und folglich wie oben 

 (33) 



PA 

 PM 



Tt , NA 

 '■=2^°^ IX- 



Aus (83) wird nun ganz wie oben geschlossen, dîiss für eine 

 beliebige Strecke 



= 1] ^ NA 

 ■''~ 2 ^^ BM ■ AM 



Fia. 6. 



oder 

 (34) 



r = ^ log A. 



Wir haben also ganz allgemein bewiesen, dass die Maass- 

 zahl einer Strecke in der Lobatscheffskij' sehen Ebene gleich ist derjenigen Maasszahl, die das 

 Abbild auf der Grenzkugel bekommt, falls wir die Cayley'sche Maassbestimmung mit dem 

 Kalottenrand als absolutem Gebilde zu Grunde legen. 



25. Es erübrigt noch den Winkel zu betrachten. 



Wir nehmen zuerst einen Winkel ir, dessen einer Schenkel durch hindurchgeht, und wol- 

 len vorläufig eine Beziehung zwischen u- und seiner Projektion tp auf der Grenzkugel ableiten. 



Wir bezeichnen die Entfernung der Winkelspitze von mit // und ziehen von die 

 Senkrechte a auf den anderen Schenkel des Winkels; den so abgegrenzten Teil des Schenkels 

 nennen wir /'. 



St 



In dem so entstandenen rechtwinkligen Dreieck ist der Winkel bei ersichtlich ^ — y . 



Also erhalten wir 



tg w = tg 77 (b) cos n (a) 



cot (/) = tg /7 (a) cos 77 (ft) 



und folglich 



tg V! • cot y = sin 77 (a) sin 77 {h) 

 oder nach (15) ■ 



tg V • cot y = sin 77 (/i), 

 welche Gleichung wir schliesslich- schreiben 

 (35) tgM; = sin77(Ä).tgy. 



Dies ist die gewünschte Beziehung zwischen 



Wir betrachten nunmehr das nebenstehende Bild auf der Grenzkugel. Der Einfachheit 



halber haben wir den durch gehenden Schenkel von f zur ?-Achse gewählt. Aus dieser 



Figur sehen wir, dass 



Tom. .\i.vi. 



