Zui Theorie der Lohaischeffskij' schen Geometrie. ■ 29 



in Linieiikoordinateii umrechnen, so bekommen wir genau so wie in der Euklid'sciien Ebene 



Wir bezeichnen also jetzt die Koordinaten der Schenkel des Winkels w mit («1«,) und 

 [U2V2) und führen folgende Bezeichnungen ein: 



'/'•, =;i;2(M,2-|- V)- 1, 



1p =lc'^{UiU2-{-ViV-i)— \. 



Dann ist 



_ «// + ^(//2 - !/'• '^2 



und tblglicii 



(48) ,r=.-.log'^^'^ "^ ^-* 



Oller schliesslich 



(44) w = arccos 





Hiermit haben wir iv als Funktion von «,, v, , Mj, t'.^ dargestellt. 



27. Die Formeln (42) und (44) sowie schon die Formeln (34) und (40) stellen mehrdeu- 

 tige Ausdrücke für r und iv dar. 



Knüpfen wir besonders an die Formel (42) an, so merken wir uns zuerst, dass 

 y2 _ (j)^ (p^ -> Q jgt^ -çjras ja nur aussagt, das die von (ï, i?,) und (tj ^2) bestimmte Punkt- 

 reihe reelle Punkte mit <P = gemein hat. Weiter ist aber f/>, «/'2 > 0, weil (?i »?i) und (^2^2) 

 beide innerhalb der Kurve <î> = liegen. Also ist 



eine reelle Grösse, deren Modul grösser als 1 ist. 



Hieraus folgt, dass es unter den Werten von arccos / , wo die Wurzel mit dop- 



peitem Vorzeichen zu rechnen ist, zwei entgegengesetzte rein imaginäre giebt. Falls wir 



diese mit + ^-^ bezeichnen, so stellt der Ausdruck 



+ »•(, -\-vkm 



sämtliche Werte von r nach der Gleichung (42) dar. 



In der Gleichung (44) wieder ist </'*— '^'1 '^''2<0, was ja nur aussagt, dass das von den 

 Grenzkreisen (mi Vi) und («2 ^2) bestimmte Grenzkreisbüschel keine reellen Grenzkreise ent- 

 hält, die der Kurve ^' = angeliören. Also ist auch '7', '/^2 > und infolgedessen 



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