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Severin Johansson. 



eine reelle Grösse, deren Modul kleiner als 1 ist. Das besagt aber, dass alle Werte von w 

 aus der Formel (44) reel sind und in dem Ausdruck 



+ Wo+ vsr 



enthalten, wo — -5■<«'8<-^• 



27. Es ist nun ein nahe liegender Gedanke die hiermit gewonnenen Formeln aut die 

 ganze Grenzkugel auszudehnen. Wir bekommen dadurch zu jedem Punktpaar (?, ^i) und 

 (?2 V2) die durch die Formeln (34) und (42) definierten Werte r und zu jedem Grenzkreispaar 

 (Ml ?;,) und («2 «2) c^ie durch che Formeln (40) und (44) festgelegten Werte tv. 



Falls wir die Sache noch einmal zusammenfassen, so können wir sagen. Jedes Punktpaar 

 (*'i ^1)1 (*3*?2) bestimmt einen Grenzkreis oder eine Punktreihe die mit dem Kalottenrand oder 

 der Ürdnungskurve (O — ü zwei reelle oder imaginäre Punkte gemein hat. Es ist dann 



r=2-log A, 



wo A das Doppelverhältniss der vier Punkte bedeutet. In genau gleicher Weise legt jedes 

 Grenzkreispaar (tti v,), {UiV^} ein Grenzkreisbüschel fest, welches mit der Klassenkurve '/''=0 

 zwei. reelle oder imaginäre Grenzkreise gemein hat. Dabei ist 



IV ■■ 



^2^- log/*, 



wo fi' das Doppelverhältniss der vier Grenzkreise ist. Besonders ist dabei hervorzuheben, 

 dass, wenn das Punktpaar innerhalb des Kalottenrands liegt oder wenn das Grenzkreispaar 

 seinen Schnittpunkt innerhalb des Kalottenrands hat, unter den Werten r und w auch die 

 Maasszahlen der entsprechenden Strecke und des entsprechenden Winkels in der Ebene sich 

 befinden. 



Falls wir dies durchführen, so tritt uns sofort eine Beziehung entgegen. Die zwei 

 Grenzkreise eines Büschels, die der Klassenkurve '/'=0 angehören, berühren nämlich die 

 Kurve in den Durchschnittspunkten zwischen der Kurve und der Polare des Büschelzentrums. 

 Daraus folgt dann, dass zwei Grenzkreise des Büschels mit jenen berührenden Grenzkreisen 

 genau dasselbe Dopi^elverhältniss bilden, wie die Durchschnittspunkte der beiden Grenzkreise 



i 



Fig. 10. 



Fig. 11. 



Tom. XLVI. 



