Zur Theorie der LohafseheffsMj'schen Oeometne. 31 



und der Polare mit den Schnittpunkten zwischen der Polare und der Kurve.. Es ist also 

 l = fi oder 



(45) cos'* yr = cos" u> 



wo r und w zu der Strecke und ileni Winkel in nebenstehender Figur gehören. P uml L 

 sind dabei Pol und Polnre in Bezug auf den Kalottenrand. 



Die Zykeln. 



23. Die hiermit eingeführten neuen An.schauuiigen ermöglichen in die Natur der Abbil- 

 der der Zykeln näher einzudringen. 



Betrachten wir zuerst den Kreis, so ist dieser die ortogoiiale Trajektorie eines Strah- 

 lenbüscliels erster Art und hat die Eigenschaft 



»■ = const., 



wo r den Abstand eines Punkts der Kurve von dem Büschelzentrum bedeutet. 



Falls wir nun auf die Grenzkugel projizieren, so wird die daselbst entstandene Kurve 



die Eigenschaft 



/ = const. 



besitzen, wo dann / das Doppelverhältniss des Kurvenpunkts mit dem festen Büschelzentrum 

 und den beiden Schnittpunkten zwischen dem Büschelstrahl umi dem Kalottenrand bedeutet. 

 Das Abbild des Kreises ist also der geometrische Ort aller durch einen festen Wert jenes 

 Doppelverhältnisses karaktärisierten Kurven. 



Bei der aeqvidistanten Kurve liegt das entsprechende Büschelzentrum auf der Grenzku- 

 g§l ausserhalb des Kalottenrands und genau in dem Pol des Abbilds der Büschelpolare. Da 

 nun die Kurve in der Ebene aeqvidistant von der Büschelpolare ist, so besagt dies, dass das 

 Abbild auf der Grenzkugel die Grenzkreise des Büschels so schneidet, dass der Schnittpunkt 

 mit den drei Punkten, in denen der betreffande Grenzkreis den Kalottenrand und das Abbild 

 der Büschelpolare scheidet, ein festes Doppelverhältniss bildet. Da aber auch das ßüschel- 

 zentrum mit denselben Punkten ein festes Doppelverhältnisss bildet, indem sie nämlich har- 

 monisch liegen, so folgt, dass auch das Abbild der aeqvidistansen Kurve das zugehörige 

 Grenzkreisbüschel so schneidet, dass der Schnittpunkt mit dem Büschelzentrum und den 

 Schnittpunkten zwischen dem Grenzkreis und dem Kalottenrand ein festes Doppelverhält- 

 niss bildet. 



Das Abbild des Grenzkreises bildet ersichtlich denjenigen Grenzfall, der entsteht, wenn 

 das Büschelzentrum auf dem Kalottenrand liegt. 



Falls wir nach der Formel (42) zurückgreifen, können wir die Gleichung der oben be- 

 sprochenen Abbilder der Zykeln in den Koordinaten S und »? hinschreiben. Wir erhalten 



